Question

12．如圖所示，在足夠高的光滑水平臺(tái)面上靜置一質(zhì)量為m的長(zhǎng)木板A，A右端用輕繩繞過(guò)光滑的輕質(zhì)定滑輪與質(zhì)量也為m的物體C栓接．當(dāng)C從靜止開(kāi)始下落距離h時(shí)，在木板A的最右端輕放一質(zhì)量為4m的小鐵塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)），最終B恰好未從木板A上滑落．A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，且認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g，求：
（1）C由靜止下落距離h時(shí)，A的速度大小v_o；
（2）A、B間因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q；
（3）若當(dāng)鐵塊B輕放在木板A的最右端的同時(shí)，對(duì)B加一水平向右的恒力，其他條件不變，在保證B能滑離木板A的條件下，則A、B間因摩擦而產(chǎn)生熱量的最大值Q_m多大．

Answer 1

分析 （1）開(kāi)始時(shí)，以A與C組成是系統(tǒng)為研究的對(duì)象，C下降的過(guò)程中，拉著A一起運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由此即可求出速度；
（2）將B放在A上后，B受到摩擦力的作用，獲得加速度，同時(shí)對(duì)A與C進(jìn)行受力分析，得出A與C的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最后結(jié)合相對(duì)運(yùn)動(dòng)，求出A的長(zhǎng)度，然后由Q=fL求出；
（3）在保證B離木板A的條件下，A、B間因摩擦產(chǎn)生熱量的最大值Q_m是摩擦力與A的長(zhǎng)度的乘積．

解答 解：（1）以A與C組成是系統(tǒng)為研究的對(duì)象，C下降的過(guò)程中，拉著A一起運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，則：
mgh=$\frac{1}{2}$（m+m）v₀²
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=$\sqrt{gh}$
（2）將B放在A上后，B受到摩擦力的作用，A與B之間有摩擦力：
f=μ•4mg=mg
C的重力：G_C=mg
設(shè)此時(shí)A與C仍然一起做加速運(yùn)動(dòng)，則：（m+m）a=mg-f=mg-mg=0
所以將B放在A上后，A與C一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度：
a_B=$\frac{μ•4mg}{4m}=μg=0.25g$，
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t后B與A的速度相等，此時(shí)B恰好運(yùn)動(dòng)到Ad左端，則：
B與A的速度相等需要的時(shí)間：t=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{B}}$
木板A的長(zhǎng)度：L=${v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}$
聯(lián)立得：L=2h
A、B間因摩擦而產(chǎn)生的熱量：Q=μ（4mg）L=0.25×4mg×2h=2mgh
（3）加上恒力D共速后，B受力情況如圖所示，設(shè)共速后A、B的加速度分別為a_A、a_B，要使B能從A上滑離，則
a_B≥a_A，對(duì)物體B由牛頓第二定律得：F-μ（4m）g=（4m）a_B①
對(duì)系統(tǒng)A、C由牛頓第二定律得：mg+μ（4m）g=（m+m）a_C ②
由①②解得：F≥5mg，F(xiàn)越小，△s越大，即F=5mg時(shí)，△s最大，
設(shè)A、B共速前B的加速度為a，加速時(shí)間為t₁，則：F+μ4mg=m_Ba，
v₀=at₁，$△s={v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$
所以A、B間因摩擦而產(chǎn)生熱量的最大值Q_m=2μm_Bg△s
解得：Q_m=$\frac{2}{3}mgh$
答：（1）剛放物塊B時(shí)，A的速度大小是$\sqrt{gh}$；
（2）A、B間因摩擦而產(chǎn)生的熱量是2mgh；
（3）若當(dāng)鐵塊B輕放在木板A的最右端的同時(shí)，對(duì)B加一水平向右的恒力，其他條件不變，在保證B能滑離木板A的條件下，則A、B間因摩擦而產(chǎn)生熱量的最大值Q_m是$\frac{2}{3}mgh$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，得出把B放在A上后，A與C組成的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解B的加速度即可．