Question

7．如圖所示，一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上，其與水平面所成的傾角α=30°，板上一根長為l=0.6m的輕細(xì)繩，它的一端系住一質(zhì)量為m=0.5kg的小球，另一端固定在板上的O點(diǎn)（取g=10m/s²）
（1）為保證小球能在光滑平板面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)A至少應(yīng)施加給小球多大的水平速度？
（2）在A點(diǎn)小球以速度v₁=3m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多少？
（3）在A點(diǎn)小球以速度v₂=1m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大��；若無張力，試求繩子再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）為保證小球能在光滑平板面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)使小球在最高點(diǎn)A至少由重力沿平板向下的分力充當(dāng)向心力，由此列式求解．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求繩中的張力．
（3）與第一題的結(jié)果比較，分析出繩中沒有張力，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何知識(shí)結(jié)合解答．

解答 解：（1）要保證小球能在光滑平板面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)使小球在最高點(diǎn)A至少由重力沿平板向下的分力提供小球所需要的向心力，則有：
G₁=mgsin30°=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=$\sqrt{3}$m/s
（2）v₁=3m/s＞v=$\sqrt{3}$m/s，故此時(shí)繩子有張力，由牛頓第二定律得：
T+mgsin30°=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$
代入數(shù)據(jù)解得：T=5N
（3）v₂=1m/s＜v=$\sqrt{3}$m/s，故此時(shí)繩子沒有張力，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，即勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，將其運(yùn)動(dòng)分解為：水平方向（x軸）的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿平板向下（y軸）的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有：
x=v₂t
y=$\frac{1}{2}gsin30°{t}^{2}$
繩子再次伸直時(shí)，由幾何關(guān)系有：
L²=x²+（y-L）²；
聯(lián)立以上三式解得：t=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$s
答：（1）為保證小球能在光滑平板面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)A至少應(yīng)施加給小球$\sqrt{3}$m/s的水平速度．
（2）在A點(diǎn)小球以速度v₁=3m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為5N．
（3）在A點(diǎn)小球以速度v₂=1m/s水平拋出的瞬間，繩中無張力，繩子再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{2\sqrt{2}}{5}$s．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)是小球能通過最高點(diǎn)的臨界條件：重力的分力充當(dāng)向心力，繩子的拉力為零．對于類平拋運(yùn)動(dòng)，也采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究．