Question

13．如圖所示，半徑R=2.5m的光滑半圓軌道ABC與傾角θ=37°的粗糙斜面軌道DC相切于C點(diǎn)，半圓軌道的直徑AC與斜面垂直．質(zhì)量m=1kg的小球從A點(diǎn)左上方距A點(diǎn)高h(yuǎn)=0.45m的P點(diǎn)以某一速度v₀水平拋出，剛好與半圓軌道的A點(diǎn)相切進(jìn)入半圓軌道內(nèi)側(cè)，之后經(jīng)半圓軌道沿斜面剛好滑到與拋出點(diǎn)等高的D點(diǎn)．已知當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）小球從P點(diǎn)拋出時(shí)的速度大小v₀；
（2）小球?qū)�軌道最低點(diǎn)B的壓力大�。�
（3）小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過程中摩擦力做的功W．

Answer 1

分析 （1）小球從P到A過程做平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)豎直方向分速度，作出速度分解圖，即可求得小球被拋出時(shí)的速度v₀；
（2）從拋出點(diǎn)到B過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，即可求出小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度．在B點(diǎn)，由重力和軌道支持力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律、第三定律求解小球?qū)�軌道的壓力大�。?br />（3）對(duì)于整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，重力做功為零，根據(jù)動(dòng)能定理求解小球從C到D過程中摩擦力做的功W．

解答 解：（1）如圖所示，在A點(diǎn)有
v_y²=2gh                   ①
$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=tanθ               ②
由①②式解得      v₀=4m/s   ③
（2）從P到B有
mg（h+Rcosθ+R）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$   ④
在B點(diǎn)          F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$                           ⑤
由③④⑤式解得  F_N=56N                                  
則小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小F_N′=F_N=56N                    
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)知過程中，重力做功為零，根據(jù)動(dòng)能定理得知：小球沿斜面上滑過程中克服摩擦力做的功等于小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初動(dòng)能：
W=-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$=-8J
答：（1）小球從P點(diǎn)拋出時(shí)的速度大小v₀為4m/s；
（2）小球?qū)�軌道最低點(diǎn)B的壓力大小為56N；
（3）小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過程中摩擦力做的功W為-8J．

點(diǎn)評(píng) 小球在軌道之前做的是平拋運(yùn)動(dòng)，在斜面上時(shí)小球做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)的過程，分段求解即可．