Question

1．如圖所示，在x軸上方有垂直于xoy平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B；在x軸下方有一沿y軸負方向的勻強電場，場強為E，一質量為m，電量為-q的粒子從坐標原點O沿y軸負向射出，經(jīng)過一段時間粒子到達x軸上的A點，A點與點O的距離為L．若不計重力．求
（1）此粒子射出時的速度v；
（2）要求粒子在磁場中的運動時間最短，則粒子的速度多大？在電場中向y軸負向運動的最大距離為多少？
（3）求在問題（2）中的粒子運動的總路程和總時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中勻變速直線運動，速度減為0，返回磁場做勻速圓周運動，運動半圈再進入電場，然后再返回進入磁場，考慮周期性，L是直徑的整數(shù)倍，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式結合幾何關系求出半徑，即可求出速度
（2）粒子在磁場中運動時間最短，即在磁場中只運動半周即到A點，根據(jù)半徑公式求出速度，在電場中根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求出向y軸負方向運動的最大距離
（3）分別求出粒子在電場和磁場中運動的路程和時間

解答 解：（1）帶負電粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力有$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}$①
根據(jù)幾何關系有L=n（2R）  （n=1、2、3…）②
聯(lián)立①②得$v=\frac{qBL}{2mn}$（n=1、2、3…）
（2）若粒子在磁場中運動時間最短，則L=2R，即$R=\frac{L}{2}$
由半徑公式得$\frac{L}{2}=\frac{m{v}_{max}^{\;}}{qB}$
解得${v}_{max}^{\;}=\frac{qBL}{2m}$
在電場中，根據(jù)牛頓第二定律qE=ma
解得$a=\frac{qE}{m}$
在電場中向y軸負方向的最大距離${y}_{max}^{\;}=\frac{{v}_{max}^{2}}{2a}=\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8mE}$
（3）粒子在電場中${S}_{1}^{\;}=2{y}_{max}^{\;}=\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{4mE}$
粒子在磁場中${S}_{2}^{\;}=πR=\frac{πL}{2}$
${S}_{總}^{\;}={S}_{1}^{\;}+{S}_{2}^{\;}=\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{4mE}+\frac{πL}{2}$
在電場中運動時間${t}_{1}^{\;}=\frac{2{v}_{max}^{\;}}{a}=\frac{{q}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8{E}_{\;}^{2}}$
在磁場中的運動時間${t}_{2}^{\;}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$
總時間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{{q}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8{E}_{\;}^{2}}+\frac{πm}{qB}$
答：（1）此粒子射出時的速度v為$\frac{qBL}{2mn}（n=1、2、3…）$；
（2）要求粒子在磁場中的運動時間最短，則粒子的速度為$\frac{qBL}{2m}$，在電場中向y軸負向運動的最大距離為$\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8mE}$
（3）在問題（2）中的粒子運動的總路程（$\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{4mE}+\frac{πL}{2}$）和總時間（$\frac{{q}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8{E}_{\;}^{2}}+\frac{πm}{qB}$）．

點評 帶電粒子在磁場中的題目關鍵在于明確圓心和半徑，注意要根據(jù)題意找出合理的運動過程，從而得出正確的結論．