Question

如圖所示，固定在上、下兩層水平面上的平行金屬導(dǎo)軌MN、M′N′和OP、O′P′間距都是l，二者之間固定有兩組豎直半圓形軌道PQM和P′Q′M′，它們是用絕緣材料制成的，兩軌道間距也均為l，且PQM和P′Q′M′的豎直高度均為4R，兩組半圓形軌道的半徑均為R．軌道的QQ′端、MM′端的對接狹縫寬度可忽略不計，圖中的虛線為絕緣材料制成的固定支架．下層金屬導(dǎo)軌接有電源，當(dāng)將一金屬桿沿垂直導(dǎo)軌方向搭接在兩導(dǎo)軌上時，將有電流從電源正極流出，經(jīng)過導(dǎo)軌和金屬桿流回電源負(fù)極．此時金屬桿將受到導(dǎo)軌中電流所形成磁場的安培力作用而運(yùn)動．運(yùn)動過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直，且接觸良好．當(dāng)金屬桿由靜止開始向右運(yùn)動4R到達(dá)水平導(dǎo)軌末端PP′位置時其速度大小v_P=4

gR

．已知金屬桿質(zhì)量為m，兩軌道間的磁場可視為勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流的關(guān)系為B=kI（k為已知常量），金屬桿在下層導(dǎo)軌的運(yùn)動可視為勻加速運(yùn)動，運(yùn)動中金屬桿所受的摩擦阻力、金屬桿和導(dǎo)軌的電阻均可忽略不計．

（1）求金屬桿在下層導(dǎo)軌運(yùn)動過程中通過它的電流大小；
（2）金屬桿由PP′位置無碰撞地水平進(jìn)入第一組半圓軌道PQ和P′Q′，又在狹縫Q和Q′無碰撞地水平進(jìn)入第二組半圓形軌道QM和Q′M′的內(nèi)側(cè)．求金屬桿由PP′處到MM′處過程中動量的增量；
（3）金屬桿由第二個半圓軌道的最高位置MM′處，以一定的速度在M和M′處沿對接狹縫無碰撞地水平進(jìn)入上層金屬導(dǎo)軌后，能沿著上層金屬導(dǎo)軌滑行．設(shè)上層水平導(dǎo)軌足夠長，其右端連接的定值電阻阻值為r，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中（不計此時導(dǎo)軌中電流產(chǎn)生的磁場的影響）．求金屬桿在上層水平金屬導(dǎo)軌上能滑行過程中通過導(dǎo)體橫截面的電荷量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的速度位移公式求出勻加速直線運(yùn)動的加速度，結(jié)合牛頓第二定律求出電流的大小．
（2）根據(jù)動能定理求出金屬桿到達(dá)MM′的速度，從而得出動量的增加量．
（3）根據(jù)動量定理求出金屬桿在上層水平金屬導(dǎo)軌上能滑行過程中通過導(dǎo)體橫截面的電荷量．

解答：解：（1）金屬桿在下層導(dǎo)軌運(yùn)動的加速度a=

vp2

2?4R

=2g
根據(jù)牛頓第二定律得，BIl=kI²l=ma
聯(lián)立兩式解得I=

2mg kl

．
（2）根據(jù)動能定理得，-?mg4R=

1

2

mv2-

1

2

mvp2
解得v=2

2gR

．
則動量的增量△P=m(2

2gR

-4

gR

)．
（3）根據(jù)動量定理得，BIL?△t=mv
則Blq=mv
解得q=

mv

Bl

=

2m 2gR

Bl

．
答：（1）金屬桿在下層導(dǎo)軌運(yùn)動過程中通過它的電流大小為

2mg kl

；
（2）金屬桿由PP′處到MM′處過程中動量的增量為△P=m(2

2gR

-4

gR

)；
（3）金屬桿在上層水平金屬導(dǎo)軌上能滑行過程中通過導(dǎo)體橫截面的電荷量為

2m 2gR

Bl

．

點(diǎn)評：本題考查了牛頓第二定律、動量定理、動能定理的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．