Question

13．圖為某種離子加速器的設(shè)計(jì)方案．兩個(gè)半圓形金屬盒內(nèi)存在相同的垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．其中MN和M′N(xiāo)′是間距為h的兩平行極板，其上分別有正對(duì)的兩個(gè)小孔O和O′，O′N(xiāo)′=ON=d，P為靶點(diǎn)，O′P=kd（k為大于1的整數(shù)）．極板間存在方向向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩極板間電壓為U．質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子從O點(diǎn)由靜止開(kāi)始加速，經(jīng)O′進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域．當(dāng)離子打到極板上O′N(xiāo)′區(qū)域（含N′點(diǎn)）或外殼上時(shí)將會(huì)被吸收．兩虛線(xiàn)之間的區(qū)域無(wú)電場(chǎng)和磁場(chǎng)存在，離子可勻速穿過(guò)．忽略相對(duì)論效應(yīng)和離子所受的重力．求：
（1）離子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)僅加速一次后能打到P點(diǎn)所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（2）能使離子打到P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的所有可能值；
（3）打到P點(diǎn)的能量最大的離子在磁場(chǎng)匯總運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）對(duì)直線(xiàn)加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理列式；對(duì)在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；最后聯(lián)立求解即可；
（2）為了使離子打到P點(diǎn)，粒子可以加速1次、2次、3次、…，對(duì)加速過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式，對(duì)在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程根據(jù)牛頓第二定律列式；要考慮臨界條件，一次加速后要達(dá)到虛線(xiàn)區(qū)域；
（3）打到P點(diǎn)的能量最大的離子加速次數(shù)最大；在電場(chǎng)向上中是勻加速全程根據(jù)動(dòng)量定理求解時(shí)間；在磁場(chǎng)中是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)t=$\frac{α}{2π}T$求解時(shí)間．

解答 解：（1）在電場(chǎng)中的直線(xiàn)加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$   ①
在磁場(chǎng)中，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{\frac{kd}{2}}$  ②
聯(lián)立解得磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
B=$\frac{{2\sqrt{2Uqm}}}{qkd}$  ③
（2）在電場(chǎng)中的第一次直線(xiàn)加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
 qU=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$  ④
在磁場(chǎng)第一次圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)牛頓第二定律，有：
  $q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$  ⑤
其中：${r}_{1}＞\fraczotpdhm{2}$  ⑥
離子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速n次后能打到P點(diǎn)，則：
在電場(chǎng)中的前n次直線(xiàn)加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
 nqU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$  ⑦
在磁場(chǎng)中第n次圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)牛頓第二定律，有：
 $qvB=m\frac{v^2}{r_n}$  ⑧
其中：${r_n}=\frac{kd}{2}$  ⑨
聯(lián)立解得：B=$\frac{2\sqrt{2nUqm}}{qkd}$（n=1，2，3，4，…，k²-1）⑩
（3）在電場(chǎng)中n次運(yùn)動(dòng)都是加速，可以當(dāng)作一個(gè)勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行考慮；
根據(jù)⑩式，最大速度為：v=$\sqrt{\frac{2nqU}{m}}$
根據(jù)動(dòng)量定理，有：q$\frac{U}{h}$t=mv
打到P點(diǎn)的能量最大的離子加速次數(shù)最大，為：
n=k²-1
聯(lián)立解得：
t=h$\sqrt{\frac{{2（{k^2}-1）m}}{Uq}}$
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，為（n-$\frac{1}{2}$）圈，即（k²-$\frac{3}{2}$）圈；
周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{n}}$
根據(jù)⑨式，B_n=$\frac{2\sqrt{2（{k}^{2}-1）Uqm}}{qkd}$
故在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t′=（k²-$\frac{3}{2}$）T
聯(lián)立解得：
t′=$\frac{（2{k}^{2}-3）πmkd}{2\sqrt{2Uqm（{k}^{2}-1）}}$
答：
（1）離子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)僅加速一次后能打到P點(diǎn)所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{2\sqrt{2Uqm}}{qkd}$；
（2）能使離子打到P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度的可能值為：$\frac{{2\sqrt{2nUqm}}}{qkd}$（n=1，2，3，4，…，k²-1）；
（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{{（2{k^2}-3）πmkd}}{{2\sqrt{2Uqm（{k^2}-1）}}}$；在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為h$\sqrt{\frac{{2（{k^2}-1）m}}{Uq}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是回旋加速器的改進(jìn)，電場(chǎng)方向不需要周期性改變，關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．