Question

10．如圖，金屬桿MN放在完全相同的導體制成的金屬框abcd上，并接觸良好．沿線框bc邊建立x軸，以b為坐標原點．矩形框ad邊長2L，ab邊長為L，導體單位長度的電阻為R₀，磁感應強度為B的勻強磁場與框架平面垂直．現(xiàn)對MN桿施加沿x軸正方向的拉力，使之從框架左端開始，以速度v向右勻速運動，不計一切摩擦，求：
（1）在MN桿運動的過程中，通過桿的電流與坐標x的關系．
（2）作用在MN桿上的外力的最大值與最小值之比．

Answer 1

分析 （1）先根據電路的結構求回路總電阻與x的關系，再由E=BLv、歐姆定律求解電流與x的關系．
（2）當MN中電流最小時拉力最小，當電流最大時拉力最大．由上題結果求出最大和最小電流，再由安培力公式和平衡條件求解．

解答 解：（1）設導體桿MN的坐標為x，則桿左側電阻R₁和右側電阻R₂分別為 R₁=（L+2x）R₀，R₂=[L+2（2L-x）]R₀，
回路總電阻R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$+LR₀=$\frac{11{L}^{2}+8Lx-4{x}^{2}}{6L}$R₀
桿運動產生的感應電動勢 E=BLv
桿MN中電流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{6B{L}^{2}v}{（11{L}^{2}+8Lx-4{x}^{2}）{R}_{0}}$
（2）當x=L時，R有最大值，I有最小值，拉力F也有最小值．
I的最小值為 I_min=$\frac{6B{L}^{2}v}{（11{L}^{2}+8{L}^{2}-4{L}^{2}）{R}_{0}}$=$\frac{6Bv}{15{R}_{0}}$=$\frac{2Bv}{3{R}_{0}}$
F的最小值為   F_min=BI_minL=$\frac{2{B}^{2}Lv}{5{R}_{0}}$
當x=0或x=2L時，R有最小值，I有最大值．
I的最大值為 I_max=$\frac{6B{L}^{2}v}{11{L}^{2}{R}_{0}}$=$\frac{6Bv}{11{R}_{0}}$
拉力F也有最大值，最大值為 F_max=BI_maxL=$\frac{6{B}^{2}Lv}{11{R}_{0}}$
所以F_max：F_min=15：11
答：
（1）在MN桿運動的過程中，通過桿的電流與坐標x的關系是I=$\frac{6B{L}^{2}v}{（11{L}^{2}+8Lx-4{x}^{2}）{R}_{0}}$．．
（2）作用在MN桿上的外力的最大值與最小值之比是15：11．

點評 本題是電磁感應中電路問題，要理解并掌握電流與外電阻的關系，運用數(shù)學極值法分析．