Question

如圖所示，一個(gè)半徑為R的光滑圓弧軌道APB豎直固定放置，PQ為其豎直對(duì)稱(chēng)軸，∠AOQ與∠BOQ都等于θ．現(xiàn)讓一可看做質(zhì)點(diǎn)的小球在軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其沖出A點(diǎn)后恰好可以從B點(diǎn)再進(jìn)入軌道，所以此運(yùn)動(dòng)可以周而復(fù)始進(jìn)行．已知小球質(zhì)量為m，重力加速度為g，試求：
（1）小球離開(kāi)軌道后的最高點(diǎn)距直線(xiàn)AB的距離；
（2）若要小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力最小，θ應(yīng)為多少？對(duì)應(yīng)的最小壓力為多少？

Answer 1

分析：（1）將速度進(jìn)行分解，在水平方向上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，結(jié)合幾何關(guān)系求出小球離開(kāi)軌道后上升到最高點(diǎn)距直線(xiàn)AB的距離．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求出物體在最低點(diǎn)所受的支持力的大小，根據(jù)數(shù)學(xué)求極值的方法求出最小值．

解答：解：（1）物體剛沖出A點(diǎn)時(shí)，將物體的速度分解有：
v₁=vcosθ… ①
v₂=vsinθ…②
在拋出到最高點(diǎn)過(guò)程中，水平方向上為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，有：Rsinθ=v₁t…③
豎直方向上為勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，末速度為零，逆過(guò)來(lái)看是自由落體運(yùn)動(dòng)．有
v₂=gt…④
h=

1

2

gt2…⑤
由①②③④解得v=

gR cosθ

… ⑥
t=sinθ

R gcosθ

…  ⑦
由⑤得，h=

Rsin2θ

2cosθ

… ⑧
（2）設(shè)物體在最低點(diǎn)的速度為v′，則物體從A到運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得，
mgR(1-cosθ)=

1

2

m(v′2-v2)…  ⑨
在最低點(diǎn)由向心力公式得，
N-mg=m

v′2

R

… ⑩
由⑥⑨⑩得，N=mg（3+2cosθ+

1

cosθ

）
分析知當(dāng)θ=45°時(shí)，N最小，為N=(3+2

2

)mg．
答：（1）小球離開(kāi)軌道后的最高點(diǎn)距直線(xiàn)AB的距離為

Rsin2θ

2cosθ

．
（2）當(dāng)θ=45°時(shí)，壓力最小，為N=(3+2

2

)mg．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)該類(lèi)題型的訓(xùn)練．