Question

圖預(yù)20-7-1中  A和B是真空中的兩塊面積很大的平行金屬板、加上周期為T的交流電壓，在兩板間產(chǎn)生交變的勻強(qiáng)電場(chǎng)．己知B板電勢(shì)為零，A板電勢(shì)U_A隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖預(yù)20-7-2所示，其中U_A的最大值為的U₀，最小值為一2U₀．在圖預(yù)20-7-1中，虛線MN表示與A、B扳平行等距的一個(gè)較小的面，此面到A和B的距離皆為l．在此面所在處，不斷地產(chǎn)生電量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電的微粒，各個(gè)時(shí)刻產(chǎn)生帶電微粒的機(jī)會(huì)均等．這種微粒產(chǎn)生后，從靜止出發(fā)在電場(chǎng)力的作用下運(yùn)動(dòng)．設(shè)微粒一旦碰到金屬板，它就附在板上不再運(yùn)動(dòng)，且其電量同時(shí)消失，不影響A、B板的電壓．己知上述的T、U₀、l，q和m等各量的值正好滿足等式

                             

若在交流電壓變化的每個(gè)周期T內(nèi)，平均產(chǎn)主320個(gè)上述微粒，試論證在t＝0到t＝T／2這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)主的微粒中，有多少微粒可到達(dá)A板（不計(jì)重力，不考慮微粒之間的相互作用）。

   

Answer 1

在電壓為時(shí)，微粒所受電場(chǎng)力為，此時(shí)微粒的加速度為。將此式代入題中所給的等式，可將該等式變?yōu)?/p>

                               （1）

現(xiàn)在分析從0到時(shí)間內(nèi)，何時(shí)產(chǎn)生的微粒在電場(chǎng)力的作用下能到達(dá)A板，然后計(jì)算這些微粒的數(shù)目。

在時(shí)產(chǎn)生的微粒，將以加速度向A板運(yùn)動(dòng)，經(jīng)后，移動(dòng)的距離與式（1）相比，可知

                               （2）

即時(shí)產(chǎn)生的微粒，在不到時(shí)就可以到達(dá)A板。在的情況下，設(shè)剛能到達(dá)A板的微粒是產(chǎn)生在時(shí)刻，則此微粒必然是先被電壓加速一段時(shí)間，然后再被電壓減速一段時(shí)間，到A板時(shí)剛好速度為零。用和分別表示此兩段時(shí)間內(nèi)的位移，表示微粒在內(nèi)的末速，也等于后一段時(shí)間的初速，由勻變速運(yùn)動(dòng)公式應(yīng)有

                                              （3）

                            （4）

又因

                        ，                               （5）

                      ，                               （6）

                  ，                              （7）

由式（3）到式（7）及式（1），可解得

                 ，                                  （8）

這就是說(shuō)，在的情況下，從到這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒都可到達(dá)A板（確切地說(shuō)，應(yīng)當(dāng)是）。

為了討論在這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒的運(yùn)動(dòng)情況，先設(shè)想有一靜止粒子在A板附近，在電場(chǎng)作用下，由A板向B板運(yùn)動(dòng)，若到達(dá)B板經(jīng)歷的時(shí)間為，則有

            

根據(jù)式（1）可求得

                         

由此可知，凡位于到A板這一區(qū)域中的靜止微粒，如果它受的電場(chǎng)作用時(shí)間大于，則這些微粒都將到達(dá)B板。

在發(fā)出的微粒，在的電場(chǎng)作用下，向A板加速運(yùn)動(dòng)，加速的時(shí)間為，接著在的電場(chǎng)作用下減速，由于減速時(shí)的加速度為加速時(shí)的兩倍，故經(jīng)過(guò)微粒速度減為零。由此可知微�？衫^續(xù)在的電場(chǎng)作用下向B板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

       

由于，故在時(shí)產(chǎn)生的微粒最終將到達(dá)B板（確切地說(shuō)，應(yīng)當(dāng)是），不會(huì)再回到A板。

在大于但小于時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒，被的電場(chǎng)加速的時(shí)間小于，在的電場(chǎng)作用下速度減到零的時(shí)間小于，故可在的電場(chǎng)作用下向B板運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

 

所以這些微粒最終都將打到B板上，不可能再回到A板。

由以上分析可知，在到時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒中，只有在到時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒能到達(dá)A板，因?yàn)楦鱾�(gè)時(shí)刻產(chǎn)生帶電微粒的機(jī)會(huì)均等，所以到達(dá)A板的微粒數(shù)為

                                              （9）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

論證在到時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微�？赡艿竭_(dá)A板給10分；論證到時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的微粒不能到達(dá)A板給6分。求得最后結(jié)果式（9）再給4分。