Question

如圖所示，真空中的xOy平面為豎直平面，在第一象限中有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限中有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子以初速度v_o垂直于y軸從M點(diǎn)射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后和x軸成60°角斜向下從N點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，最后從Q點(diǎn)水平射出磁場(chǎng)，不計(jì)重力．
求：（1）MN兩點(diǎn)的電勢(shì)差U_MN
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向和粒子運(yùn)動(dòng)的半徑；
（3）粒子從M到Q所用時(shí)間；
（4））電場(chǎng)強(qiáng)度．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場(chǎng)進(jìn)入第一象限，粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)N的速度方向可利用速度的合成與分解得知此時(shí)的速度，在應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得電場(chǎng)中MN兩點(diǎn)間的電勢(shì)差．
（2）粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則可確定磁場(chǎng)方向，先畫(huà)出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分段求出時(shí)間，相加可得總時(shí)間．
（4）粒子在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，因此在電場(chǎng)中的高度等于豎直方向平均速度與時(shí)間的乘積，從而由U=Ed可算出電場(chǎng)強(qiáng)度．

解答：解：（1）粒子在第一象限內(nèi)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第四象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．粒子帶負(fù)電，設(shè)粒子過(guò)N點(diǎn)的速度為v，有

v0

v

=cosθ得：v=2v₀
粒子從M點(diǎn)到N點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
（-q）U_MN=

1

2

mv ²-

1

2

mv₀²   
 U_MN=-

3m v 2 0

2q

（2）粒子在電場(chǎng)中向下偏則帶電粒子帶負(fù)電，在磁場(chǎng)中從N向Q偏，
由左手定則可知：磁場(chǎng)方向垂直紙面向里．  
 由qBv=m

v2

R

得R=

2mv0

qB

（3）由幾何關(guān)系得：
ON=rsinθ
則有：ON=Rcos30°=

3 mv0

qB

，
設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則有：
ON=v₀t₁
所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=

ON

v0

=

3 m

qB

在磁場(chǎng)中的周期為：T=

2πm

qB

，在磁場(chǎng)中的時(shí)間：t₂=

120

360

T=

2πm

3qB

則運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為：t=t₁+t₂=

(3 3 +2π)m

3qB

（4）M到N豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有：h=

0+v⊥

2

t₁
而v_⊥=v₀tan60°
解得：h=

3mv0

2qB

則由U=Ed，解得：E=

UNM

h

=v₀B
答：（1）MN兩點(diǎn)的電勢(shì)差為-

3m v 2 0

2q

；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里和粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為

2mv0

qB

；
（3）粒子從M到Q所用時(shí)間為

(3 3 +2π)m

3qB

；
（4）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為v₀B．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界問(wèn)題，不同場(chǎng)的分界面上，既是一種運(yùn)動(dòng)的結(jié)束，又是另一種運(yùn)動(dòng)的開(kāi)始，尋找相關(guān)物理量尤其重要．
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．
點(diǎn)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)
圓心的確定：因洛倫茲力提供向心力，洛倫茲力總垂直于速度，畫(huà)出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）洛倫茲力的方向，其延長(zhǎng)的交點(diǎn)即為圓心．或射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)間弦的垂直平分線與一半徑的交點(diǎn)即為圓心．
半徑的確定：半徑一般都在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何知識(shí)求解，常常是解直角三角形．
運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：利用圓心與弦切角的關(guān)系計(jì)算出粒子所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ的大小，用公式t=

θ

360°

T，可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
再者就是要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．