Question

20．如圖所示，質量為m的小球用長為L的輕質細線懸于O點，與0點處于同一水平線上的P點處有一個光滑的細釘，已知OP=$\frac{L}{2}$，在A點給小球一個水平向左的初速度v₀=3$\sqrt{gl}$，發(fā)現小球恰能到達跟P點在間一豎直線上的最高點B．已知重力加速度大小為g，試求：
（1）小球在A點時細線的張力大�。�
（2）在小球從A到B的過程中空氣阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球在A點時，由重力和細線拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求細線的張力大小；
（2）小球恰好到達最高點B時，繩子的拉力為零，由重力充當向心力，根據牛頓第二定律求出小球在B點的速度．對A到B的過程運用動能定理，求克服空氣阻力所做的功．

解答 解：（1）小球在A點時，由重力和細線拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律得：
T-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$
又 v₀=3$\sqrt{gL}$
解得：T=10mg
（2）小球恰能達到最高點B，在B點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律有：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{2}}$
可得B點的速率為：v_B=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$
小球從A到B的過程中，設克服空氣阻力做功為W_f．根據動能定理得：
-W_f-mg（L+$\frac{L}{2}$）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：W_f=$\frac{11}{4}$mgL
答：（1）小球在A點時細線的張力大小是10mg；
（2）在小球從A到B的過程中空氣阻力做的功是$\frac{11}{4}$mgL．

點評 本題考查了牛頓第二定律和動能定理的綜合，要知道小球恰好到達最高點的臨界條件，即拉力為零，由重力提供向心力．要知道空氣阻力是變力，運用動能定理求變力做功是常用的方法．