Question

14．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R的光滑均質(zhì)半球，靜置于光滑水平桌面上，在球頂有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止開始沿球面下滑，試求：質(zhì)點(diǎn)離開球面以前的軌跡．

Answer 1

分析 質(zhì)點(diǎn)下滑，半球后退，水平方向受到的外力為零，滿足水平方向動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出小球水平位移的表達(dá)式，再根據(jù)幾何關(guān)系求出豎直方向位移的表達(dá)式，從而求出軌跡方程．

解答 解：質(zhì)點(diǎn)下滑，半球后退，水平方向合力為零，滿足水平方向動(dòng)量守恒，
建立一個(gè)坐標(biāo)：以半球球心O為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)滑下一側(cè)的水平軸為x坐標(biāo)、豎直軸為y坐標(biāo)．
由于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球總是做圓周運(yùn)動(dòng)的（離開球面前），引入相對(duì)運(yùn)動(dòng)中半球球心O′的方位角θ來表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)位置，如圖所示：
設(shè)質(zhì)點(diǎn)水平方向運(yùn)動(dòng)的位移為x，半圓運(yùn)動(dòng)的位移為X，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒定律得：
$M\frac{X}{t}=m\frac{x}{t}$，
根據(jù)幾何關(guān)系得：
x+X=Rsinθ
解得：x=$\frac{M}{M+m}Rsinθ$…①
而由圖知：y=Rcosθ…②
由①②得：
$\frac{{x}^{2}}{（\frac{MR}{M+m}）^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{R}^{2}}=1$
則質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)長(zhǎng)、短半軸分別為R和$\frac{M}{M+m}$R的橢圓．
答：質(zhì)點(diǎn)離開球面以前的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{{（\frac{MR}{M+m}）}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{R}^{2}}=1$，軌跡是一個(gè)長(zhǎng)、短半軸分別為R和$\frac{M}{M+m}$R的橢圓．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是掌握動(dòng)量守恒定律的直接應(yīng)用，知道在運(yùn)動(dòng)過程中，水平方向的動(dòng)量是守恒的，同時(shí)注意幾何關(guān)系在解題時(shí)的應(yīng)用，難度較大．