Question

11．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，圓心O₁坐標(biāo)為（0，R），方向垂直紙面向外．在虛線(xiàn)x=R的右側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一場(chǎng)強(qiáng)大小為E，沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，以速度v₀從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子重力，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡在xOy平面內(nèi)．
（1）若速度v₀方向沿y軸正方向時(shí)，粒子恰好從坐標(biāo)為（R，R）的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的大小為；
（2）若粒子以速度v₀沿與y軸正方向之間成夾角θ=30°的方向從O點(diǎn)射入，求粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸的交點(diǎn)P（圖中未畫(huà)出）距O點(diǎn)的距離及粒子從O到P的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子正對(duì)磁場(chǎng)圓心射入，則粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度反向延長(zhǎng)線(xiàn)仍經(jīng)過(guò)圓心，根據(jù)幾何關(guān)系可求出軌跡半徑，由洛倫茲力提供向心力，列式求出B的大��；
（2）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，并求出P到O的距離，由圓心角求時(shí)間．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，則
 qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
由幾何關(guān)系得r=R
由①②得 B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$
（2）①如圖1所示，粒子射入磁場(chǎng)后，在磁場(chǎng)中以O(shè)₂為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從P第一次射出磁場(chǎng)，圖中OO₂ PO₁是邊長(zhǎng)為R的菱形，PO₂平行于y軸，故粒子射出磁場(chǎng)后速度沿x軸正方向．
由幾何關(guān)系得 PO=2Rcos30°=$\sqrt{3}$R
軌跡的圓心角 θ₁=120°=$\frac{2π}{3}$
粒子從O到P的時(shí)間 t₁=$\frac{{θ}_{1}R}{{v}_{0}}$=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$．
②如圖2所示，粒子射入磁場(chǎng)后，在磁場(chǎng)中以O(shè)₃為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從P′第一次射出磁場(chǎng)，圖中OO₃ P′O₁是邊長(zhǎng)為R的菱形，P′O₃平行于y軸
由幾何關(guān)系得 PO=2Rsin30°=R
軌跡的圓心角 θ₂=60°=$\frac{π}{3}$
粒子從O到P的時(shí)間 t₂=$\frac{{θ}_{2}R}{{v}_{0}}$=$\frac{πR}{3{v}_{0}}$
答：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qR}$．
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸的交點(diǎn)P距O點(diǎn)的距離為$\sqrt{3}$R或R，對(duì)應(yīng)的粒子從O到P的時(shí)間分別為$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$或$\frac{πR}{3{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用幾何知識(shí)，在圖象中作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系抓住粒子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力展開(kāi)討論即可．正確作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解決本題的關(guān)鍵．