Question

【題目】如圖所示，足夠大的水平光滑圓臺(tái)中央立著一根光滑的桿，原長(zhǎng)為L的輕彈簧套在桿上，質(zhì)量均為m的A、B、C三個(gè)小球用兩根輕桿通過光滑鉸鏈連接，輕桿長(zhǎng)也為L，A球套在豎直桿上。現(xiàn)將A球擱在彈簧上端，當(dāng)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，輕桿與豎直方向夾角θ＝37°．已知重力加速度為g，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。

(1)求輕桿對(duì)B的作用力F和彈簧的勁度系數(shù)k；

(2)讓B、C球以相同的角速度繞豎直桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，若轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω0（未知）時(shí)，B、C球剛要脫離圓臺(tái)，求輕桿與豎直方向夾角θ0的余弦和角速度ω0；

(3)兩桿豎直并攏，A球提升至距圓臺(tái)L高處?kù)o止，受到微小擾動(dòng)，A球向下運(yùn)動(dòng)，同時(shí)B、C球向兩側(cè)相反方向在圓臺(tái)上沿直線滑動(dòng)，A、B、C球始終在同一豎直平面內(nèi)，觀測(cè)到A球下降的最大距離為0.4L．A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)加速度大小為a0，求此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能Ep以及B球加速度的大小a。

Answer 1

【答案】（1）F＝0 （2） （3）0.4mgL，

【解析】

（1）平臺(tái)光滑，對(duì)B球受力分析知輕桿對(duì)B的作用力F＝0

彈簧的形變量：△L＝L﹣Lcosθ

對(duì)A有：k△L＝mg

解得：

（2）B、C對(duì)桌面無彈力，ABC系統(tǒng)在豎直方向合力為零，則：k（L﹣Lcosθ0）＝3mg

解得：

對(duì)B由向心力公式有：mgtanθ0＝mω02Lsinθ0

解得：

（3）當(dāng)A球下降h＝0.4L時(shí)，ABC速度均為零，由機(jī)械守恒有：Ep＝mgh＝0.4mgL

設(shè)桿此時(shí)拉力為T，桿與豎直方向夾角為θ1，則

A的加速度豎直向上，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：kh﹣2Tcosθ1﹣mg＝ma0

同理對(duì)B有：Tsinθ1＝ma

解得：