Question

【題目】如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界．磁場(chǎng)中放置一半徑為R的圓柱形金屬圓筒，圓心O到MN的距離OO1=2R，金屬圓筒軸線(xiàn)與磁場(chǎng)平行．金屬圓筒用導(dǎo)線(xiàn)通過(guò)一個(gè)電阻r0接地，最初金屬圓筒不帶電．現(xiàn)有一電子槍對(duì)準(zhǔn)金屬圓桶中心O射出電子束，電子束從靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)后垂直于左邊界MN向右射入磁場(chǎng)區(qū)，已知電子質(zhì)量為m，電量為e．電子重力忽略不計(jì)．求：

（1）最初金屬圓筒不帶電時(shí)，則
a．當(dāng)加速電壓為U時(shí)，電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大�。�
b．加速電壓滿(mǎn)足什么條件時(shí)，電子能夠打到圓筒上；
（2）若電子束以初速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)，電子都能打到金屬圓筒上（不會(huì)引起金屬圓筒內(nèi)原子能級(jí)躍遷），則當(dāng)金屬圓筒上電量達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定時(shí)，測(cè)量得到通過(guò)電阻r0的電流恒為I，忽略運(yùn)動(dòng)電子間的相互作用和金屬筒的電阻，求此時(shí)金屬圓筒的電勢(shì)φ和金屬圓筒的發(fā)熱功率P．（取大地電勢(shì)為零）

Answer 1

【答案】
（1）

解：a．設(shè)電子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速后的速度為v1，由動(dòng)能定理，有：

解得：

b．令電子恰好打在圓筒上時(shí)，加速電壓為U0，設(shè)電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v2，軌道半徑為r，做出電子的軌跡如圖所示，O2為軌道的圓心．

由幾何關(guān)系得：

r2+（2R）2=（r+R）2

解得：

磁偏轉(zhuǎn)過(guò)程，根據(jù)牛頓第二定律，有：

直線(xiàn)加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：

解得：

所以當(dāng) 時(shí)，電子能夠打到圓筒上

（2）

解：當(dāng)圓筒上的電量達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定時(shí)，圓筒上的電荷不再增加，此時(shí)通過(guò)r0的電流方向向上．

根據(jù)歐姆定律，圓筒跟地面間的電壓大小為：

U1=Ir0

由0﹣φ=U1可得：

φ=﹣Ir0

單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)圓筒的電子數(shù)：

故單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)圓筒上的電子的總能量：

單位時(shí)間內(nèi)電阻消耗的能量：

所以圓筒的發(fā)熱功率：

P=E﹣Er= ﹣I2r0

【解析】（1）a．根據(jù)動(dòng)能定理對(duì)直線(xiàn)加速過(guò)程列式求解即可；
b．先作出電子恰好打在圓筒上的臨界軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑；然后根據(jù)牛頓第二定律并結(jié)合洛倫茲力提供向心力列式；最后聯(lián)立求解即可；（2）先根據(jù)歐姆定律求解電阻r0的電勢(shì)差，再根據(jù)電勢(shì)差的定義求解金屬圓筒的電勢(shì)；
根據(jù)電荷守恒定律求解單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)圓筒上的電子數(shù)目，得到電子提供的總能量，根據(jù)焦耳定律求解電阻R0的單位時(shí)間熱量，最后根據(jù)能量守恒定律求解金屬圓筒的發(fā)熱功率P．