Question

如圖所示，光滑絕緣的水平面上方，左邊有垂直紙面向里的勻強磁場，右邊有豎直向上的勻強電場．質量為m，帶電量為q（正電）的點電荷 a，以水平向右的初速度v沿水平面進入勻強磁場和勻強電場，恰好都不脫離水平面．在勻強電場中用絕緣細線懸掛一個質量為m的不帶電的小球b（可視為質點），小球處于靜止且對水平面無壓力．點電荷a進入勻強電場后與小球b正碰并粘在一起，恰好能繞懸掛點O在勻強電場中做豎直面內(nèi)的圓周運動．（重力加速度為g）求：
（1）勻強磁場的磁感應強度B；
（2）勻強電場的電場強度E；
（3）絕緣細線的長度l．

Answer 1

分析：（1）據(jù)題，點電荷a以水平向右的初速度v沿水平面進入勻強磁場恰好不脫離水平面，水平面對該點電荷沒有支持力，重力與洛倫茲力二力平衡，由平衡條件列式求解B．
（2）點電荷a以水平向右的初速度v向右勻速直線運動，進入勻強電場，也恰好不脫離水平面，水平面對點電荷a也沒有支持力，點電荷a所受的重力和電場力二力平衡，由平衡條件列式，求解E．
（3）兩點電荷碰撞過程，遵守動量守恒定律，由此定律求出碰后兩球的共同速度．點電荷 a和小球一起恰好能繞懸掛點O在勻強電場中做豎直面內(nèi)的圓周運動．它們通過最高點時，細線不受拉力作用，由重力與電場力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得到共同體到達最高點的速度，再對碰后到最高點的過程，運用動能定理得到碰后與最高點速度關系，聯(lián)立即可求得l．

解答：解：（1）點電荷a以水平向右的初速度v沿水平面進入勻強磁場恰好不脫離水平面．此時水平面對點電荷 a沒有支持力，點電荷a所受的重力和洛倫茲力相等．有：
  mg=qvB
解得：B=

mg

qv

                                     
（2）點電荷a以水平向右的初速度v沿水平面進入勻強磁場恰好不脫離水平面，以速度v沿水平面做勻速直線運動，進入勻強電場，也恰好不脫離水平面，此時水平面對點電荷a沒有支持力，點電荷a所受的重力和電場力相等．有：mg=qE
解得：E=

mg

q

                                       
（3）點電荷a進入勻強電場后與小球b正碰并粘在一起，帶正電電量為q，設共同速度為v₁，由動量守恒定律得：mv=2mv₁
解得：v₁=

1

2

v
點電荷a和小球一起恰好能繞懸掛點O在勻強電場中做豎直面內(nèi)的圓周運動．它們通過最高點時，細線不受拉力作用．點電荷a和小球受到重力和電場力，由它們的合力提供向心力，設此時它們的速度為v₂，由向心力公式得：
2mg-qE=2m

v 2 2

l

∴v₂=

1 2 gl

           
點電荷a和b從最低點到最高點的過程中，由動能定理得：
 qE?2l-2mg?2l=

1

2

?2m

v

2 2

-

1

2

?2m

v

2 1

          
將mg=qE，v₂=

1 2 gl

，v₁=

1

2

v代入得：
 2mgl-4mgl=

1

2

mgl-

1

4

mv2   
解得：l=

2v2

5g

     
答：（1）勻強磁場的磁感應強度B為

mg

qv

；
（2）勻強電場的電場強度E為

mg

q

；
（3）絕緣細線的長度l為

2v2

5g

．

點評：本題采用程序法，即按時間順序進行分析，根據(jù)小球的運動情況，判斷其受力情況，并把握最高點的臨界條件是解題的關鍵．