Question

8．折射率$n=\sqrt{2}$的透明玻璃球，如圖所示有一束a光線(xiàn)射向球面．
（i）證明：光束a經(jīng)球面折射射入球內(nèi)的光線(xiàn)，不可能在球內(nèi)發(fā)生全反射；
（ii）當(dāng)入射光線(xiàn)a的入射角i=45°時(shí)，求從球內(nèi)射出的最強(qiáng)光線(xiàn)與入射a光線(xiàn)的夾角α；
（iii）當(dāng)入射光線(xiàn)a的入射角i=45°時(shí)，求從球內(nèi)射出的光線(xiàn)共有幾束？作出光路圖并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （i）經(jīng)過(guò)兩次折射后從玻璃球射出的光線(xiàn)遵循折射定律，由折射定律分別列式，由幾何關(guān)系知道第一次折射角與第二次入射角相等，對(duì)照全反射條件：光從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)，入射角大于等于臨界角，進(jìn)行證明．
（ii）當(dāng)入射光線(xiàn)a的入射角i=45°時(shí)，根據(jù)折射定律和幾何知識(shí)結(jié)合求解從球內(nèi)射出的最強(qiáng)光線(xiàn)與入射a光線(xiàn)的夾角α．
（iii）當(dāng)入射角i=45°時(shí)，射入球內(nèi)的光線(xiàn)到a點(diǎn)后，部分光線(xiàn)射出，部分光線(xiàn)反射到b點(diǎn)，然后繼續(xù)部分折射和部分反射到c點(diǎn)，在球內(nèi)不斷反射的光線(xiàn)其入射角均為30°，故在球內(nèi)第二次反射的光其入射點(diǎn)與進(jìn)入玻璃球的光線(xiàn)的入射點(diǎn)重合于c點(diǎn)，從球內(nèi)射出的光線(xiàn)只有3束．

解答 解：（i）證明：光路圖1所示

經(jīng)過(guò)兩次折射后從玻璃球射出的光線(xiàn)遵循折射定律，有：$\frac{sin{i}_{1}}{sin{r}_{1}}$=n，$\frac{sin{i}_{2}}{sin{r}_{2}}$=$\frac{1}{n}$
由幾何關(guān)系可知，r₁=i₂，所以r₂=i₁ 
只要光線(xiàn)能入射進(jìn)玻璃球，即i₁＜90°，所以r₂=i₁＜90°
即i₂＜臨界角，光線(xiàn)在球內(nèi)不可能發(fā)生全反射．
另證：根據(jù)光的折射定律：sini₁=nsinr₁ 
由圓的幾何知識(shí)得，該光線(xiàn)出射的入射角 i₂=r₁
設(shè)：光線(xiàn)在界面處發(fā)生全反射的臨界角為C，
根據(jù)光的折射定律：nsinC=sin90°
綜上所述，光線(xiàn)的入射角i₂＜C，即不會(huì)發(fā)生全反射  
（ii）當(dāng)入射角i=45°時(shí)，由$\frac{sin{i}_{1}}{sin{r}_{1}}$=n   得 r₁=30°
由$\frac{sin{i}_{2}}{sin{r}_{2}}$=$\frac{1}{n}$   得 r₂=45°
偏向角 α=（i₁-r₁ ）+（r₂-i₂）=15°+15°=30°
（iii）當(dāng)入射角i=45°時(shí)，射入球內(nèi)的光線(xiàn)到a點(diǎn)后，部分光線(xiàn)射出，部分光線(xiàn)反射到b點(diǎn)，然后繼續(xù)部分折射和部分反射到c點(diǎn)，在球內(nèi)不斷反射的光線(xiàn)其入射角均為30°，故在球內(nèi)第二次反射的光其入射點(diǎn)與進(jìn)入玻璃球的光線(xiàn)的入射點(diǎn)重合于c點(diǎn)，所以，從球內(nèi)射出的光線(xiàn)只有3束．如圖2所示．
答：（i）證明見(jiàn)上．
（ii）從球內(nèi)射出的最強(qiáng)光線(xiàn)與入射a光線(xiàn)的夾角α是30°；
（iii）從球內(nèi)射出的光線(xiàn)共有3束．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全反射條件和折射定律的應(yīng)用，對(duì)于幾何光學(xué)問(wèn)題，準(zhǔn)確作出光路圖，結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行分析和求解是解題的關(guān)鍵．