Question

在地面上方垂直于太陽光的入射方向，放置一半徑R=0.10m、焦距f=0.50m的薄凸透鏡，在薄透鏡下方的焦面上放置一黑色薄圓盤（圓盤中心與透鏡焦點重合），于是可以在黑色圓盤上形成太陽的像．已知黑色圓盤的半徑是太陽像的半徑的兩倍．圓盤的導熱性極好，圓盤與地面之間的距離較大．設(shè)太陽向外輻射的能量遵從斯特藩-玻爾茲曼定律：在單位時間內(nèi)在其單位表面積上向外輻射的能量為W=σT⁴，式中σ為斯特藩-玻爾茲曼常量，T為輻射體表面的絕對溫度．對太而言，取其溫度t s=5.50×1030C．大氣對太陽能的吸收率為α=0.40．又設(shè)黑色圓盤對射到其上的太陽能全部吸收，同時圓盤也按斯特藩-玻爾茲曼定律向外輻射能量．如果不考慮空氣的對流，也不考慮雜散光的影響，試問薄圓盤到達穩(wěn)定狀態(tài)時可能達到的最高溫度為多少攝氏度？

Answer 1

考點：透鏡成像規(guī)律,能量守恒定律

專題：

分析：先根據(jù)能量守恒定律和斯特藩-玻爾茲曼定律估算地球表面單位面積單位時間的接受到的太陽輻射能量，再根據(jù)斯特藩-玻爾茲曼定律估算薄圓盤的溫度．

解答：解：根據(jù)斯特藩-玻爾茲曼定律，在單位時間內(nèi)太陽表面單位單位面積向外發(fā)射的能量為：
W_s=δ

T

4 s

          ①
其中δ為斯特藩-玻爾茲曼常量，T_s為太陽表面的絕對溫度；若太陽的半徑為R_s，則單位時間內(nèi)整個太陽表面向外輻射的能量為：
Ps=4π

R

2 s

Ws      ②
單位時間內(nèi)通過以太陽為中心的任意一個球面的能量都是P_s，設(shè)太陽到地球的距離為r_s，考慮到地球周圍大氣的吸收，地面附近半徑為R的透鏡接受到的太陽輻射的能量為：
P=πR2(1-α)

Ps

4π r 2 s

  ③
薄透鏡將把這些能量匯聚到置于其后焦面上的薄圓盤上，并被薄圓盤全部吸收；
另一方面，由于薄圓盤也向外輻射能量，設(shè)圓盤的半徑為R_D，溫度為T_D，注意到薄圓盤有兩個表面，故圓盤在單位時間內(nèi)輻射的能量為：
P_D=2π

R

2 D

?δ

T

2 D

       ④
顯然，當
 P_D=P           ⑤
即圓盤單位時間內(nèi)接收到的能量與單位時間內(nèi)輻射的能量相等時，圓盤達到穩(wěn)定狀態(tài)，其溫度達到最高，由①②③④⑤各式得到：
TD=[(1-α)

R2 R 2 s

2 r 2 s R 2 D

]

1

4

Ts  ⑥
根據(jù)題意，薄圓盤半徑為太陽的像的半徑的2倍，即RD=2

R

′ s

；
由透鏡成像公式，有：

R ′ s

f

=

Rs

rs

            ⑦
固有：
RD=2

Rs

rs

f          ⑧
將⑧式代入⑥式，有：
TD=[(1-α)

R2

8f2

]

1

4

Ts
代入數(shù)據(jù)，注意T_s=（273.15+t_s）K，有：
T_D=1.4×10³K
即有：
t_D=T_D-273.15=1.1×10³°C
答：薄圓盤到達穩(wěn)定狀態(tài)時可能達到的最高溫度為1.1×10³攝氏度．

點評：本題關(guān)鍵是建立熱學模型，要多次根據(jù)斯特藩-玻爾茲曼定律和能量守恒定律列方程，較難．