Question

如圖所示，在空間有一坐標(biāo)系xOy，直線OP與軸正方向的夾角為30°，第一象限內(nèi)有兩個(gè)方向都垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I和II，直線OP上方區(qū)域I中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m，電荷量為q的質(zhì)子（不計(jì)重力）以速度v從O點(diǎn)沿與OP成30°角的方向垂直磁場(chǎng)進(jìn)入?yún)^(qū)域I，質(zhì)子先后通過(guò)強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I和II后，恰好垂直打在x軸上的Q點(diǎn)（圖中未畫(huà)出），則  （　　）

• A．粒子在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

  7πm

  12qB

• B．粒子在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

  5πm

  6qB

• C．Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

  ( 3 +1)mv

  2qB

• D．Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

  ( 3 +2)mv

  2qB

Answer 1

分析：（1）質(zhì)子在兩個(gè)磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，質(zhì)子從A點(diǎn)出磁場(chǎng)I時(shí)的速度方向與OP的夾角為30°，即與x軸平行．在區(qū)域II中，由題分析可知，質(zhì)子運(yùn)動(dòng)

1

4

圓周，由幾何知識(shí)作出軌跡，如圖．由幾何關(guān)系，得到質(zhì)子在兩個(gè)磁場(chǎng)中軌跡半徑與OA的關(guān)系，由牛頓第二定律研究?jī)蓚�(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系，求解區(qū)域II中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
然后結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與轉(zhuǎn)過(guò)的角度的關(guān)系：

θ

360°

=

t

T

求出質(zhì)子先后通過(guò)強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I和II的時(shí)間，總時(shí)間即為所求；
（2）由圖x=OAcos30°+r₂=r₁cos30°+r₂求解x．

解答：解：（1）設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)I和II中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r₁和r₂，區(qū)域II中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′，
       由牛頓第二定律qvB=m

v2

r1

   ①
                     qvB′=m

v2

r2

  ②
      粒子在兩區(qū)域運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，由帶電粒子才磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性和幾何關(guān)系可知，質(zhì)子從A點(diǎn)出磁場(chǎng)I時(shí)的速度方向與OP的夾角為30°，故質(zhì)子在磁場(chǎng)I中軌跡的圓心角為  θ=60°，如圖：
則△O₁OA為等邊三角形  OA=r₁ ③
  在區(qū)域II中，質(zhì)子運(yùn)動(dòng)

1

4

圓周，O₂是粒子在區(qū)域II中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，r₂=OAsin30°④
由①②③④解得區(qū)域II中磁感應(yīng)強(qiáng)度為  B′=2B  ⑤
粒子在Ⅰ區(qū)的運(yùn)動(dòng)周期：T1=

2πm

qB

，

60°

360°

=

t1

T1

   ⑥
粒子在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)的周期：T2=

2πm

qB′

，

90°

360°

=

t2

T2

    ⑦
粒子在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=t₁+t₂   ⑧
聯(lián)立⑤⑥⑦⑧解得：t=

7πm

12qB

  故選項(xiàng)A正確．選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
    （2）Q點(diǎn)坐標(biāo)  x=OAcos30°+r₂=r₁cos30°+r₂
代人數(shù)據(jù)得：x=

( 3 +1)mv

2qB

  故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．
故選：AC

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子通過(guò)磁場(chǎng)的邊界時(shí)，如果邊界是直線，根據(jù)圓的對(duì)稱性得到，帶電粒子入射速度方向與邊界的夾角等于出射速度方向與邊界的夾角，這在處理有界磁場(chǎng)的問(wèn)題常常用到．