Question

如圖所示為建筑工地常用的一種“深穴打夯機(jī)”.工作時(shí)，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)兩個(gè)緊壓夯桿的滾輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)將夯從深為h的坑中提上來，兩個(gè)滾輪彼此分開，夯桿被釋放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯實(shí)坑底. 然后，兩個(gè)滾輪再次壓緊夯桿，夯再次被提上來，如此周而復(fù)始. 已知兩個(gè)滾輪的半徑R=0.2m，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω=204rad/s，每個(gè)滾輪對夯桿的正壓力F­N=2×104N，滾輪與夯桿間的動(dòng)摩擦數(shù)μ=0.3，夯的總質(zhì)量m=1×103kg，坑深h=6.4m. 假定在打夯的過程中每次坑的深度變化不大，且夯從底端升到坑口時(shí)，滾輪將夯桿釋放. 不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s2.

求：（1）夯桿被滾輪壓緊加速上升至與滾輪速度相等時(shí)，此時(shí)夯的底端離坑底的高度h₁；

   （2）夯的運(yùn)動(dòng)周期T；

   （3）每個(gè)周期中，提升夯的過程中電動(dòng)機(jī)所做的功W.

Answer 1

（1）設(shè)滾輪的邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為v，則v=ωR=4m/s

     夯加速上升的加速度為a，由牛頓第二定律得

       當(dāng)夯上升速度為v時(shí)，有

       代入數(shù)據(jù)解得

（2）設(shè)夯加速上升的時(shí)間為t₁，則

       設(shè)夯勻速上升的時(shí)間為t₂，則

       設(shè)夯從坑口上升到最高點(diǎn)的時(shí)間為t₃，則

       設(shè)夯從最高點(diǎn)下落到坑底的時(shí)間為t₄，夯上升的最大高度為h₂.

       則

      

       夯運(yùn)動(dòng)的周期T= t₁+ t₂+ t₃+ t₄=4.2s

（3）設(shè)夯加速上升過程滾輪轉(zhuǎn)動(dòng)的距離為s，則s=vt₁=8m

       夯桿相對滾輪滑動(dòng)的距離為△s，△s=s－h₁=4m，因相對滑動(dòng)產(chǎn)生的熱

      

       夯獲得的動(dòng)能

       夯上升的高度獲得的重力勢能

       則，電動(dòng)機(jī)每個(gè)周期所做的功W=Q+E_K+E_P

    即