Question

如圖所示是建筑工地常用的一種“深穴打夯機(jī)”，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)兩個(gè)滾輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)將靜止的夯桿從深坑提上來(lái)，當(dāng)夯桿底端剛到達(dá)坑口時(shí)，兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)，將夯桿釋放，夯桿在重力作用下落回深坑，夯實(shí)坑底．如此循環(huán)往復(fù)．已知兩個(gè)滾輪邊緣的線速度恒為v=4m/s，每個(gè)滾輪對(duì)夯桿的壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，夯桿質(zhì)量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，取g=10m/s²．求：
（1）夯桿自坑底開(kāi)始勻加速上升，當(dāng)速度增加到4m/s時(shí)，夯桿上升的高度；
（2）夯桿自坑底上升的最大高度；
（3）夯桿往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期．

Answer 1

分析：（1）夯桿自坑底開(kāi)始受到滾輪對(duì)夯桿的滑動(dòng)摩擦力和重力而勻加速上升，根據(jù)牛頓第二定律先求得加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解上升的高度；
（2）夯桿離開(kāi)地面后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解最大高度；
（3）先計(jì)算加速和減速上升的時(shí)間，然后計(jì)算自由落體的時(shí)間，總時(shí)間即為打夯周期；

解答：解：（1）夯桿開(kāi)始階段做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得：
2μF_N-mg=ma，故a=2m/s²
當(dāng)速度增加到4m/s時(shí)，夯桿上升的高度為：h₁=

v2

2a

解得：h₁=4m
（2）由于h₁＜h，可知，夯桿先勻加速運(yùn)動(dòng)4m，后勻速運(yùn)動(dòng)2.4m，當(dāng)夯桿底端到達(dá)坑口時(shí)，兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)，夯桿做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則上升的高度為：h₂=

v2

2g

解得：h₂=0.8m
所以夯桿自坑底上升的最大高度為：H=h+h₂=7.2m
（3）夯桿從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到落回原處共經(jīng)歷四個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程：向上勻加速運(yùn)動(dòng)、向上勻速運(yùn)動(dòng)、向上豎直上拋運(yùn)動(dòng)，向下自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)這四個(gè)過(guò)程的時(shí)間分別為t₁、t₂、t₃、t₄．
由題意得：h₁=

1

2

a

t

2 1

得：t₁=2s
t₂=

h-h1

v

=0.6s
v=gt₃
得：t₃=0.4s
h+h₂=

1

2

g

t

2 4

得：t₄=1.2s
故夯桿往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期為T=t1+t2+t₃+t₄=3.2s．
答：（1）夯桿自坑底開(kāi)始勻加速上升，當(dāng)速度增加到4m/s時(shí)，夯桿上升的高度是4m；
（2）夯桿自坑底上升的最大高度是7.2m；
（3）夯桿往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期是3.2s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析求出夯桿的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握每個(gè)過(guò)程所遵守的規(guī)律，然后根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．