Question

7．如圖1所示的xOy平面內(nèi)，x＜0的區(qū)域有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)磁場，在x＞0的區(qū)域內(nèi)，y軸和平行于y軸的虛線MN之間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，虛線MN的右側(cè)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，兩電場的電場強(qiáng)度相同，在（-2$\sqrt{3}$L，L）的P點(diǎn)，有一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電的粒子以初速度v₀沿y軸正方向射入電場，結(jié)果粒子在t=0時刻從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間變化規(guī)律如圖2所示，粒子在磁場中運(yùn)動時，做圓周運(yùn)動的周期等于T，并在T到1.5T之間垂直于MN進(jìn)入第二個電場，不計(jì)粒子重力，求：

（1）粒子進(jìn)入磁場時，速度的大小和方向；
（2）y軸與MN之間的距離；
（3）粒子最終經(jīng)過x軸的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律可以求出粒子的速度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，然后求出y軸與MN間的距離．
（3）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律求出粒子經(jīng)過x軸的坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，
水平方向：2$\sqrt{3}$L=v₀t，
豎直方向：L=$\frac{{v}_{y}}{2}$t=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
粒子進(jìn)入磁場時的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v_y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$v₀，v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀，E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qL}$，
粒子進(jìn)入磁場時與x軸的夾角為θ，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：θ=30°；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，粒子運(yùn)動軌跡如圖所示：

粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
由幾何知識可知，y軸與MN之間的距離：d=5rsin30°，
解得：r=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}T}{3π}$，d=$\frac{5\sqrt{3}{v}_{0}T}{6π}$；
（3）粒子進(jìn)入MN右側(cè)的電場后做類平拋運(yùn)動，
水平方向：x′=vt′，
豎直方向：5rxos30°-r=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t′²，
解得：x′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{\frac{（30-4\sqrt{3}）{v}_{0}TL}{π}}$，
則粒子最終經(jīng)過x軸的坐標(biāo)：X=d+x′=$\frac{5\sqrt{3}{v}_{0}T}{6π}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{\frac{（30-4\sqrt{3}）{v}_{0}TL}{π}}$；
答：（1）粒子進(jìn)入磁場時，速度的大小為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀，方向：與x軸夾角為30°；
（2）y軸與MN之間的距離為$\frac{5\sqrt{3}{v}_{0}T}{6π}$；
（3）粒子最終經(jīng)過x軸的位置坐標(biāo)為（$\frac{5\sqrt{3}{v}_{0}T}{6π}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{\frac{（30-4\sqrt{3}）{v}_{0}TL}{π}}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運(yùn)動，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，分析清楚粒子運(yùn)動過程、作出粒子運(yùn)動軌跡是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律與牛頓第二定律可以解題，解題時要注意幾何知識的應(yīng)用．