Question

20．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道和光滑水平軌道相切，三個(gè)小球1、2、3沿水平軌道分別以速度v₁=2$\sqrt{gR}$、v₂=3$\sqrt{gR}$、v₃=4$\sqrt{gR}$水平向左沖上半圓形軌道，g為重力加速度，下列關(guān)于三個(gè)小球的落點(diǎn)到半圓形軌道最低點(diǎn)A的水平距離和離開(kāi)軌道后的運(yùn)動(dòng)形式的說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 三個(gè)小球離開(kāi)軌道后均做平拋運(yùn)動(dòng)
• B． 小球2和小球3的落點(diǎn)到A點(diǎn)的距離之比為$\sqrt{5}$：2$\sqrt{3}$
• C． 小球1和小球2做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1：1
• D． 小球2和小球3做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1：1

Answer 1

分析 先求出小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的臨界速度，再分析三個(gè)小球能否到達(dá)最高點(diǎn)．若能通過(guò)最高點(diǎn)就能做平拋運(yùn)動(dòng)，再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律分析水平距離和時(shí)間之比．

解答 解：A、設(shè)小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，此時(shí)由重力提供向心力，則 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 v=$\sqrt{gR}$
設(shè)小球能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)在軌道最低點(diǎn)時(shí)最小速度為v′，由機(jī)械能守恒定律得 2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，得 v′=$\sqrt{5gR}$
由于v₁=2$\sqrt{gR}$＜v′，所以小球1不能到達(dá)軌道最高點(diǎn)，也就不能做平拋運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤．
BCD、小球2和小球3離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，由2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得 t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$，則得：小球2和小球3做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為1：1．
設(shè)小球2和小球3通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度分別為v₂′和v₃′．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  2mgR+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²；2mgR+$\frac{1}{2}$mv₃²=$\frac{1}{2}$mv₃′²；
解得 v₂′=$\sqrt{5gR}$，v₃′=$2\sqrt{3gR}$
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：水平距離為 x=v₀t，t相等，則小球2和小球3的落點(diǎn)到A點(diǎn)的距離之比為$\sqrt{5}$：2$\sqrt{3}$．
小球1做的不是平拋運(yùn)動(dòng)，則小球1和小球2做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比不是1：1，故BD正確，C錯(cuò)誤．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件，明確小球離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋知識(shí)、機(jī)械能守恒定律結(jié)合解題．