Question

8．如圖所示，傾角為θ=30°、足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距L₁=0.4m，B₁=5T的勻強(qiáng)磁場垂直導(dǎo)軌平面向上．一質(zhì)量m=1.0kg的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，其電阻r=1Ω．金屬導(dǎo)軌上端連接右側(cè)電路，R₁=1.5Ω，R₂=1.5Ω．R₂兩端通過細(xì)導(dǎo)線連接質(zhì)量M=0.6kg的正方形金屬框cdef，正方形邊長L₂=0.2m，每條邊電阻r₀為1Ω，金屬框處在一方向垂直紙面向里、B₂=5T的勻強(qiáng)磁場中．現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，不計其他電阻及滑輪摩擦，g取10m/s²．

（1）若將電鍵S斷開，求棒下滑過程中的最大速度．
（2）若電鍵S閉合，每根細(xì)導(dǎo)線能承受的最大拉力為3.4N，開始時線框豎直，上、下邊水平，求細(xì)導(dǎo)線剛好被拉斷時棒的速度．
（3）若電鍵S閉合后，從棒釋放到細(xì)導(dǎo)線被拉斷的過程中，棒上產(chǎn)生的電熱為3.06J，求此過程中棒下滑的高度．

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由歐姆定律、感應(yīng)電動勢和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）每根細(xì)導(dǎo)線能承受的最大拉力F_m=3.4N，根據(jù)平衡得出得出通過線框每條邊的電流，并結(jié)合電路的特點以及切割產(chǎn)生的產(chǎn)生感應(yīng)電動勢公式即可解答；
（3）金屬棒由靜止開始下滑s的過程中，重力和安培力對棒做功，棒的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為棒的動能和電路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒列式可求出ab棒下滑的高度h．

解答 解：（1）棒下滑過程中，沿導(dǎo)軌的合力為0時，速度最大，有：
mgsin θ-F_安=0
F_安=B₁IL₁=$\frac{{{B}_{1}}^{2}{{L}_{1}}^{2}{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_max=5 m/s
（2）閉合S后，設(shè)細(xì)導(dǎo)線剛斷開時，通過金屬框ef邊電流為I′，則通過cd邊的電流為3I′，則有：
2F_T-Mg-B₂I′L₂-3B₂I′L₂=0
代入數(shù)據(jù)解得：I′=0.2 A      
通過R₂的電流為：I₂=2I′=0.4A
電路總電流為：I₁=I₂+4I′=1.2A
金屬框接入電路總電阻R_框=$\frac{3}{4}$Ω，R₂與R_框并聯(lián)電阻為R′，R′═0.5Ω，
則總電阻為：R_總=3Ω，
設(shè)此時棒的速度為v₁，則有：I₁=$\frac{{B}_{1}{L}_{1}{v}_{1}}{{R}_{總}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=1.8 m/s
（3）當(dāng)棒下滑高度為h時，棒上產(chǎn)生的熱量為Q_ab，R₁上產(chǎn)生的熱量為Q₁，R₂與R框上產(chǎn)生的總熱量為Q′，因為棒子電阻、R₁、R₂與R_框并聯(lián)電阻之比為2：3：1，則產(chǎn)生的熱量之比為2：3：1，
根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律有：mgh=$\frac{1}{2}$$m{{v}_{1}}^{2}$+Q_ab+Q₁+Q′，
代入數(shù)據(jù)解得：h=1.08m．
答：（1）棒下滑過程中的最大速度為5m/s；
（2）細(xì)導(dǎo)線剛好被拉斷時棒的速度為1.8m/s；
（3）此過程中棒下滑的高度為1.08m．

點評 本題考查了電磁感應(yīng)與電路和力學(xué)、能量的綜合運(yùn)用，掌握切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、歐姆定律和安培力公式是解決本題的關(guān)鍵，對于第二問，容易出錯，要理清串并聯(lián)之間的關(guān)系，結(jié)合歐姆定律進(jìn)行求解．