Question

13．打井施工時要將一質(zhì)量可忽略不計的堅硬底座A送到井底，由于A與井壁間摩擦力很大，工程人員采用了如圖所示的裝置．圖中重錘B質(zhì)量為m，下端連有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，工程人員先將B放置在A上，觀察到A不動；然后在B上再逐漸疊加壓塊，當(dāng)壓塊質(zhì)量達(dá)到m時，觀察到A開始緩慢下沉?xí)r移去壓塊．將B提升至彈簧下端距井口為H₀處，自由釋放B，A被撞擊后下沉的最大距離為h₁，以后每次都從距井口H₀處自由釋放．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，彈簧始終在彈性限度內(nèi)．
（1）求下沉?xí)rA與井壁間的摩擦力大小f和彈簧的最大形變量△L；
（2）求撞擊下沉?xí)rA的加速度大小a和彈簧彈性勢能E_p；
（3）若第n次撞擊后，底座A恰能到達(dá)井底，求井深H．

Answer 1

分析 （1）A開始緩慢下沉?xí)r，受力平衡，根據(jù)平衡條件求解f，底座質(zhì)量不計，所以合力為零，結(jié)合胡克定律求解；
（2）撞擊后AB一起減速下沉，對B，根據(jù)牛頓第二定律以及功能關(guān)系求解；
（3）A第二次下沉，由功能關(guān)系求出下降的距離與第一次下降距離的關(guān)系，同理求出第三次下降的距離與第一次下降距離的關(guān)系，進(jìn)而求出第n次下沉過程中向下滑動的距離，再結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）A開始緩慢下沉?xí)r，受力平衡，則有：
f=2mg
底座質(zhì)量不計，所以合力為零，所以始終有：
k△L=f
解得：$△L=\frac{2mg}{k}$
（2）撞擊后AB一起減速下沉，對B，根據(jù)牛頓第二定律得：
k△L-mg=ma
解得：a=g，
A第一次下沉，由功能關(guān)系得：
mg（H₀+△L+h₁）=E_P+fh₁
解得：${E}_{P}=mg（{H}_{0}-{h}_{1}+\frac{2mg}{k}）$
（3）A第二次下沉，由功能關(guān)系
mg（H₀+△L+h₁+h₂）=E_P+fh₂
又f=2mg
解得：h₂=2h₁
A第三次下沉，由功能關(guān)系有：
mg（H₀+△L+h₁+h₂+h₃）=E_P+fh₃
解得  h₃=4h₁
同理  A第n次下沉過程中向下滑動的距離為：
${h}_{n}={2}^{n-1}{h}_{1}$
所以井底深度為：$H={h}_{1}+{h}_{2}+{h}_{3}=（{2}^{n}-1）{h}_{1}$
答：（1）求下沉?xí)rA與井壁間的摩擦力大小f為2mg，彈簧的最大形變量△L為$\frac{2mg}{k}$；
（2）求撞擊下沉?xí)rA的加速度大小a為g，彈簧彈性勢能為$mg（{H}_{0}-{h}_{1}+\frac{2mg}{k}）$；
（3）若第n次撞擊后，底座A恰能到達(dá)井底，則井深H為（2ⁿ-1）h₁．

點評 本題主要考查了平衡條件、牛頓第二定律以及功能關(guān)系的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況，第三問能求出每次下降距離的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識求解，難度較大．