Question

19．如圖所示，質量M=2kg的滑塊套在光滑的水平軌道上，質量m=1kg的小球通過長L=0.2m的輕質細桿與滑塊上的光滑軸O連接，小球和輕桿可在豎直平面內繞O軸自由轉動，開始輕桿處于水平狀態(tài)，現(xiàn)給小球一個豎直向上的初速度v₀=4m/s，g取10m/s²．
（1）若鎖定滑塊，試求小球通過最高點P時對輕桿的作用力大小和方向．
（2）若解除對滑塊的鎖定，試求小球通過最高點時的速度大�。�
（3）在滿足（2）的條件下，試求小球擊中滑塊右側軌道位置點與小球起始位置點間的距離．

Answer 1

分析 （1）小球上升到最高點的過程中，符合機械能守恒定律，先解決最高點小球的速度，再由向心力公式求得細桿對小球的作用力，根據(jù)牛頓第三定律知道球對桿的作用力．
（2）解除對滑塊的鎖定，小球在上升過程中，因系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，所以水平方向的動量守恒；另外在上升過程中，因只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒．聯(lián)立動量守恒和機械能守恒方程求解．
（3）系統(tǒng)水平方向的動量守恒，兩個物體速度時刻滿足與質量成反比的關系，在相同的時間內位移也應該滿足這個比例關系，而兩個物體之間的距離和為定值，故距離可求．本題也可以采用質心原理求得．

解答 解：（1）設小球能通過最高點，且此時的速度為v₁．在上升過程中，因只有重力做功，小球的機械能守恒．則 $\frac{1}{2}mv_1^2+mgL=\frac{1}{2}mv_0^2$…①
${v}_{1}=2\sqrt{3}m/s$…②
設小球到達最高點時，輕桿對小球的作用力為F，方向向下，
則 $F+mg=m\frac{v_1^2}{L}$…③
由②③式，得 F=50N…④
由牛頓第三定律可知，小球對輕桿的作用力大小為50N，方向豎直向上．
（2）解除鎖定后，設小球通過最高點時的速度為v₂，此時滑塊的速度為V．
在上升過程中，因系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，水平方向的動量守恒．
以水平向右的方向為正方向，有 mv₂-MV=0…⑤
在上升過程中，因只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，
則 $\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}M{V^2}+mgL=\frac{1}{2}mv_0^2$…⑥
由⑤⑥式，得 v₂=$2\sqrt{2}$m/s
（3）設小球擊中滑塊右側軌道的位置點與小球起始點的距離為s₁，滑塊向左移動的距離為s₂，
任意時刻小球的水平速度大小為v₃，滑塊的速度大小為V′．
由系統(tǒng)水平方向的動量守恒，得 mv₃-MV'=0…⑦
將⑦式兩邊同乘以△t，得 mv₃△t-MV'△t=0…⑧
因⑧式對任意時刻附近的微小間隔△t 都成立，累積相加后，有
ms₁-Ms₂=0…⑨
又 s₁+s₂=2L…⑩
由⑨⑩式得 s₁=$\frac{4}{15}m≈$0.27m
答：（1）小球通過最高點P時對輕桿的作用力大小為50N，方向豎直向上．
（2）小球通過最高點時的速度v₂=$2\sqrt{2}$m/s．
（3）小球擊中滑塊右側軌道位置點與小球起始位置點間的距離是0.27m．

點評 本題考查了連接體問題中的動量守恒和機械能守恒，滑塊鎖定和不鎖定的區(qū)別非常重要：滑塊鎖定小球機械能守恒，滑塊解鎖系統(tǒng)機械能守恒兩個物體水平方向上動量守恒；這是一道比較困難的力學綜合題．可以作為高考的壓軸題出現(xiàn)．