Question

20．如圖所示，兩根足夠長平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在傾角θ=37°的絕緣斜面上，頂部接有一阻值R=1Ω的定值電阻，下端開口，軌道間距L=1m．整個裝置處于磁感應(yīng)強度B=4T的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下．質(zhì)量m=2kg的金屬棒ab置于導(dǎo)軌上，ab在導(dǎo)軌之間的電阻r=1Ω，電路中其余電阻不計．金屬棒ab由靜止釋放后沿導(dǎo)軌運動時始終垂直于導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好．已知金屬棒ab與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)μ=0.5，不計空氣阻力影響．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）金屬棒ab沿導(dǎo)軌向下運動的最大加速度a_m和最大速度v_m；
（2）金屬棒ab沿導(dǎo)軌向下運動過程中，電阻R上的最大電功率P_R；
（3）若從金屬棒ab開始運動至達到最大速度過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱總共為3.75J，求流過電阻R的總電荷量q．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)安培力為零時，加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求解最大加速度；當(dāng)加速度為零時速度最大，根據(jù)平衡條件求解最大速度；
（2）金屬棒速度最大時感應(yīng)電流最大，電阻R上電功率最大；據(jù)閉合電路的歐姆定律和電功率的計算公式求解；
（3）根據(jù)能量守恒定律求解位移，根據(jù)電荷量的計算公式求解電荷量．

解答 解：（1）金屬棒由靜止釋放后，在重力、支持力、摩擦力和安培力作用下做變加速運動，當(dāng)安培力為零時，加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律可得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma_m，
代入數(shù)據(jù)解得：a_m=2m/s²；
當(dāng)加速度為零時速度最大，此時金屬棒受力平衡，根據(jù)平衡條件可得：
mgsinθ-μmgcosθ=F_A，
而安培力為：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
聯(lián)立解得：v_m=0.5m/s；
（2）金屬棒速度最大時感應(yīng)電流最大，電阻R上電功率最大；根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得感應(yīng)電流為：
I=$\frac{BL{v}_{m}}{r+R}$，
根據(jù)電功率的計算公式可得：P_R=I²R，
聯(lián)立解得：P_R=1W；
（3）設(shè)金屬棒從開始到速度最大過程中的位移為x，根據(jù)能量守恒定律可得：
（mgsinθ-μmgcosθ）x=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q，
根據(jù)電荷量的計算公式可得：q=$\overline{I}t$=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$，
聯(lián)立解得：q=2C．
答：（1）金屬棒ab沿導(dǎo)軌向下運動的最大加速度為2m/s²；最大速度為0.5m/s；
（2）金屬棒ab沿導(dǎo)軌向下運動過程中，電阻R上的最大電功率為1W；
（3）若從金屬棒ab開始運動至達到最大速度過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱總共為3.75J，則流過電阻R的總電荷量為2C．

點評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．