Question

20．如圖所示，一個有底無蓋的圓柱形桶，底面質(zhì)量不計，桶側(cè)面質(zhì)量為a，桶的重心在中軸線上的正中間位置，裝滿水后水的質(zhì)量為b．
（1）若b=3a，水裝到一半，求系統(tǒng)合重心到桶底面的距離與桶的高度之比；
（2）裝入水的質(zhì)量m為多少時，水和桶合重心最低？

Answer 1

分析 （1）合重心在兩個分質(zhì)心的連線上，離雙方的距離與雙方質(zhì)量成反比；則可求得合重心的高度；
（2）根據(jù)題意列出重心與水質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系，由數(shù)學規(guī)律可求得最低點．

解答 解：（1）設(shè)桶高h，合重心到桶底的高度為y，則有：
y=$\frac{a•\frac{h}{2}+\frac{2}•\frac{h}{4}}{a+\frac{2}}$=$\frac{7}{20}$h
故系統(tǒng)合重心到桶底面的距離與桶的高度之比為$\frac{7}{20}$
（2）設(shè)水質(zhì)量為m時合重心離底面高為y，則有：
y=$\frac{a•\frac{h}{2}+m•\frac{x}{2}}{a+m}$=$\frac{h}{2b}$$•\frac{ab+{m}^{2}}{a+m}$=$\frac{h}{2b}$•$\frac{（a+m）^{2}-2a（a+m）+{a}^{2}+ab}{a+m}$=$\frac{h}{2b}$[（a+m）+$\frac{{a}^{2}+{ab}^{\;}}{a+m}$-2a]
則由數(shù)學規(guī)律可得：當m=$\sqrt{{a}^{2}+ab}$-a時合重心最低；
答：（1）若b=3a，水裝到一半，求系統(tǒng)合重心到桶底面的距離與桶的高度之比為$\frac{7}{20}$；
（2）裝入水的質(zhì)量m為$\sqrt{{a}^{2}+ab}$-a時，水和桶合重心最低．

點評 本題考查合重心問題，要注意明確合重心與分質(zhì)心之間的關(guān)系，同時注意數(shù)學規(guī)律的正確應用；題目屬于較早版本的物理課本中知識，對現(xiàn)在來說難度較大．