Question

15．我國于2013年12月發(fā)射了“嫦娥三號”衛(wèi)星，該衛(wèi)星在距月球表面H處的環(huán)月軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，其運行的周期為T；隨后嫦娥三號在該軌道上A點采取措施，降至近月點高度為h的橢圓軌道Ⅱ上，如圖所示．若以R表示月球的半徑，忽略月球自轉及地球對衛(wèi)星的影響．則下述判斷正確的是（　　）

• A． 月球的質量為$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 月球的第一宇宙速度為$\frac{2π\(zhòng)sqrt{R（R+h）^{3}}}{TR}$
• C． “嫦娥三號”在環(huán)月軌道Ⅰ上需加速才能降至橢圓軌道Ⅱ
• D． “嫦娥三號”在圖中橢圓軌道Ⅱ上的周期為$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}$T

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求解月球的質量和第一宇宙速度，再根據(jù)開普勒行星運動定律求解橢圓軌道的周期．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力由在軌道I上的運動有：
$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得月球的質量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正確；
B、據(jù)$\frac{GmM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得月球的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\frac{2π\(zhòng)sqrt{R（R+H）^{3}}}{TR}$，故選項B錯誤；
C、嫦娥三號在軌道I上運動，要使其沿橢圓軌道運動可知，嫦娥三號需做近心運動，故在軌道I上需要對嫦娥三號減速才可以沿軌道II運動，故C錯誤；
D、根據(jù)開普勒第三定律，在軌道I和軌道II上的周期滿足：$\frac{{R}_{I}^{3}}{{T}_{I}^{2}}=\frac{{R}_{II}^{3}}{{T}_{II}^{2}}$，即${T}_{II}=\sqrt{\frac{{R}_{II}^{3}}{{R}_{I}^{3}}}{T}_{I}$=$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}T$，故D正確．
故選：AD．

點評 解決本題的關鍵是抓住萬有引力提供圓周運動向心力和開普勒行星運動定律，掌握基礎知識是解題的主要入手點．