Question

6．如圖所示，AC為光滑的水平桌面，輕彈簧的一端固定在A端的豎直墻壁上．質量m=1kg的小物塊將彈簧的另一端壓縮到B點，之后由靜止釋放，離開彈簧后從C點水平飛出，恰好從D點以v_D=$\sqrt{10}$m/s的速度沿切線方向進入豎直面內的光滑圓弧軌道DEF（小物體與軌道間無碰撞）．O為圓弧軌道的圓心，E為圓弧軌道的最低點，圓弧軌道的半徑R=1m，∠DOE=60°，∠EOF=37°．小物塊運動到F點后，沖上足夠長的斜面FG，斜面FG與圓軌道相切于F點，小物體與斜面間的動摩擦因數μ=0.5．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．不計空氣阻力．求：
（1）彈簧最初具有的彈性勢能；
（2）小物塊第一次到達圓弧軌道的E點時對圓弧軌道的壓力大�。�
（3）判斷小物塊沿斜面FG第一次返回圓弧軌道后能否回到圓弧軌道的D點？若能，求解小物塊回到D點的速度；若不能，求解經過足夠長的時間后小物塊通過圓弧軌道最低點E的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）物塊離開C點后做平拋運動，由D點沿圓軌道切線方向進入圓軌道，知道了到達D點的速度方向，將D點的速度分解為水平方向和豎直方向，根據角度關系求出水平分速度，即離開C點時的速度v_C．再研究彈簧釋放的過程，由機械能守恒定律求彈簧最初具有的彈性勢能；
（2）物塊從D到E，運用機械能守恒定律求出通過E點的速度．在E點，由牛頓定律和向心力知識結合求物塊對軌道的壓力．
（3）假設物塊能回到D點，對物塊從A到返回D點的整個過程，運用動能定理求出D點的速度，再作出判斷．最后由機械能守恒定律求出最低點的速度．

解答 解：（1）設小物塊在C點的速度為v_C，則在D點有：v_C=v_Dcos60°
設彈簧最初具有的彈性勢能為E_p，則：E_P=$\frac{1}{2}$mv_C²
代入數據聯立解得：E_p=1.25J                                
（2）設小物塊在E點的速度為v_E，則從D到E的過程中有：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_E²-$\frac{1}{2}$mv_D²
設在E點，圓軌道對小物塊的支持力為N，則有：N-mg=$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$                            
代入數據解得：v_E=2$\sqrt{5}$m/s，N=30N
由牛頓第三定律可知，小物塊到達圓軌道的E點時對圓軌道的壓力為30 N．  
（3）設小物體沿斜面FG上滑的最大距離為x，從E到最大距離的過程中有：
-mgR（1-cos37°）-（mgsin37°+μmgcos37°）x=0-$\frac{1}{2}$mv_E²      
小物體第一次沿斜面上滑并返回F的過程克服摩擦力做的功為W_f，則
W_f=2xμmgcos37°                          
小物體在D點的動能為E_KD，則：E_KD=$\frac{1}{2}$mv_D²                           
代入數據解得：x=0.8m，W_f=6.4J，E_KD=5J
因為E_KD＜W_f，故小物體不能返回D點．                                
小物體最終將在F點與關于過圓軌道圓心的豎直線對稱的點之間做往復運動，小物體的機械能守恒，設最終在最低點的速度為v_Em，則有：
mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}$mv_Em²                       
代入數據解得：v_Em=2 m/s                                
答：（1）彈簧最初具有的彈性勢能為1.25J；
（2）小物塊第一次到達圓弧軌道的E點時對圓弧軌道的壓力大小是30 N；
（3）小物塊沿斜面FG第一次返回圓弧軌道后不能回到圓弧軌道的D點．經過足夠長的時間后小物塊通過圓弧軌道最低點E的速度大小為2 m/s．

點評 本題是多過程問題，要按時間順序分析物體的運動情況，把握每個過程的物理規(guī)律，在涉及力在空間的效果時，運用動能定理求速度是常用的方法．平拋運動常常根據運動的分解法研究．