Question

2．某一行星有一質(zhì)量為m的衛(wèi)星，以軌道半徑r、周期T做勻速圓周運動，測得行星的半徑恰好是該衛(wèi)星軌道半徑的$\frac{1}{10}$，萬有引力常量為G，求
（1）衛(wèi)星的加速度大小；
（2）行星的質(zhì)量；
（3）行星表面的重力加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力，可以列式求解；
（2）同樣由萬有引力提供向心力，可以列式求解；
（3）根據(jù)行星表面，重力等于萬有引力，可以列式求解

解答 解：設行星的質(zhì)量為M，由行星對衛(wèi)星的萬有引力提供向心力 得  $G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=ma   ①
   （1）由①式得到衛(wèi)星的加速度a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
   （2）由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$  得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$

   （3）設行星表面的重力加速度為g，行星半徑為R，則行星表面物體的重力等于行星對物體的萬有引力，即$\frac{GMm′}{{R}^{2}}=m′g$
    由題意   R=0.1r
   由以上得g=$\frac{400{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
答：（1）衛(wèi)星的加速度為$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
    （2）行星的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
   （3）行星表面的重力加速度大小為$\frac{400{π}^{2}r}{{T}^{2}}$

點評 本題關鍵在于衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力據(jù)此列式求出相應的物理量，注意在行星表面重力等于萬有引力．