Question

18．如圖所示在車廂中有一條光滑的帶子（質(zhì)量不計），帶子中放上一個圓柱體，車子靜止時帶子兩邊的夾角∠ACB=90°，若車廂以加速度a=7.5m/s²向左勻加速運(yùn)動，則帶子的兩邊與車廂頂面夾角分別為多少？

Answer 1

分析 靜止時，圓柱受力平衡，兩側(cè)繩子等長，當(dāng)車勻加速向左運(yùn)動時，圓柱合力水平向左，圓柱右偏，圓柱兩側(cè)繩子長度不等，總長不變，設(shè)出角度，利用幾何關(guān)系找邊角關(guān)系，再利用牛頓第二定律列出動力學(xué)方程．

解答 解：設(shè)車靜止時AC長為l，當(dāng)小車以$a=7.5m/{s}_{\;}^{2}$向左作勻加速運(yùn)動時，由于AC、BC之間的類似于“滑輪”，故受到的拉力相等，設(shè)為${F}_{T}^{\;}$，圓柱體所受到的合力為ma，在向左作勻加速，運(yùn)動中AC長為（l+△l），BC長為（l-△l），β＞α且α+β+γ=180°
由幾何關(guān)系得$\frac{l-△l}{sinα}=\frac{l+△l}{sinβ}=\frac{{\sqrt{2}l}_{\;}^{\;}}{sinγ}$①
根據(jù)牛頓第二定律
水平方向${F}_{T}^{\;}cosα-{F}_{T}^{\;}cosβ=ma$②
豎直方向${F}_{T}^{\;}sinα+{F}_{T}^{\;}sinβ=mg$③
代入數(shù)據(jù)求得α=19°、β=93°
聯(lián)立②③得$\frac{cosα-cosβ}{sina+sinβ}=\frac{a}{g}=\frac{7.5}{10}=\frac{3}{4}$④
$\frac{2sin\frac{β+α}{2}sin\frac{β-α}{2}}{2sin\frac{β+α}{2}cos\frac{β-α}{2}}=\frac{3}{4}$即$tan\frac{β-α}{2}=\frac{3}{4}$
$\frac{β-α}{2}=37°$即β=74°+α
由①得$\frac{2l}{sinα+sinβ}=\frac{\sqrt{2}l}{sinγ}$
$\frac{2l}{sinα+sinβ}=\frac{\sqrt{2}l}{sin（α+β）}$
$\frac{sinα+sinβ}{sin（α+β）}=\sqrt{2}$
$\frac{2sin\frac{β+α}{2}cos\frac{β-α}{2}}{2sin\frac{β+α}{2}cos\frac{β+α}{2}}=\sqrt{2}$
化簡得$\frac{cos37°}{cos\frac{74°+2α}{2}}=\sqrt{2}$即$\frac{cos37°}{cos（37°+α）}=\sqrt{2}$
cos（37°+α）=0.57查表得α=19°
β=74°+19°=93°
答：帶子兩邊與車廂頂面夾角分別為19°、93°

點評 解決本題要特別注意圓柱兩側(cè)繩子拉力相等，靜止時兩邊繩長相等，車勻加速運(yùn)動時，根據(jù)受力情況和運(yùn)動情況結(jié)合牛頓第二定律求解，本題對數(shù)學(xué)要求很高．