Question

【題目】如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy中，第Ⅰ象限存在沿y軸正方向、電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限存在一個(gè)方向垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。一質(zhì)量為m，帶電荷量為-q的粒子，以某一速度從A點(diǎn)垂直于y軸射入第Ⅰ象限，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，h），粒子飛出電場(chǎng)區(qū)域后，沿與x軸正方向夾角為60°的B處進(jìn)入第Ⅳ象限，經(jīng)圓形磁場(chǎng)后，垂直射向y軸C處。不計(jì)粒子重力，求：

(1)從A點(diǎn)射入的速度；

(2)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；

(3)證明粒子在最小圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，并求出最長時(shí)間。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】

(1)粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度大小為

豎直方向有

故

在B處有

因此，A點(diǎn)射入的速度

(2)在B處，根據(jù)

可得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為

粒子在磁場(chǎng)中，由洛倫磁力提供向心力，即

故：粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

由于粒子從B點(diǎn)射入，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后垂直射向C處，根據(jù)左手定則可知，圓形磁場(chǎng)的磁場(chǎng)是垂直于紙面向里。

如圖所示，延長B處速度方向與反向延長C處速度方向相交于D點(diǎn)，作的角平分線，在角平分線上找出點(diǎn)，使它到BD、CD的距離為

則以MN為直徑的圓的磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，設(shè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為r，由幾何關(guān)系可得

圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積

(3)粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓與圓形磁場(chǎng)關(guān)系如圖所示，

由第(2)問作圖過程可知，MN是圓形磁場(chǎng)的直徑，也是粒子的射入點(diǎn)與射出點(diǎn)的連線，其所對(duì)應(yīng)的弧長最長，故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長。由幾何知識(shí)可知，圓心角

又因粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期

故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長