Question

18．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）試推導(dǎo)第一宇宙速度v₁的表達(dá)式；
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運行速度V₂．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼近地球表面做圓周運動的速度，其軌道半徑近似等于地球的半徑，根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度的大�。�
（2）依據(jù)衛(wèi)星萬有引力提供向心力，結(jié)合地面萬有引力等于重力，可求衛(wèi)星的運行速度V₂．

解答 解：
（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，在地球表面附近，衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于重力：
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：
${v}_{1}=\sqrt{gR}$．
（2）地面萬有引力等于重力：
$G\frac{M}{{R}^{2}}=mg$，
對衛(wèi)星：
$G\frac{Mm}{（{R+h）}^{2}}=m\frac{{{V}_{2}}^{2}}{R+h}$，
解得：
${V}_{2}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
答：
（1）第一宇宙速度v₁的表達(dá)式${v}_{1}=\sqrt{gR}$；
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，衛(wèi)星的運行速度${V}_{2}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道不考慮地球自轉(zhuǎn)時，萬有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼著地球表面做勻速圓周運動的速度．