Question

（2011?廣東模擬）如圖（甲）所示，兩平行金屬板間接有如圖（乙）所示的隨時(shí)間t變化的電壓u，兩板間電場(chǎng)可看作是均勻的，且兩板外無(wú)電場(chǎng)，極板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可視作是恒定不變的．（取π=3.14）

（1）試求帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度．
（2）證明任意時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為定值．寫(xiě)出表達(dá)式并求出這個(gè)定值．
（3）從電場(chǎng)射出的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又射出磁場(chǎng)．試猜想粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是否為定值，若是，求出該定值的大��；若不是，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)兩板間所能加的電壓最大時(shí)，粒子射出電場(chǎng)的速度最大．根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解和動(dòng)能定理結(jié)合求出最大速度．
（2）畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)找出該距離與軌跡半徑的關(guān)系來(lái)證明．
（3）定出最大的偏轉(zhuǎn)角和最小的偏轉(zhuǎn)角，利用周期求出最長(zhǎng)和最短的時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)兩板間電壓為U₁時(shí)，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)，
      則有

d

2

=

1

2

at2=

1

2

?

U1q

dm

(

L

v0

)2；
     代入數(shù)據(jù)，解得：U₁=100V
     在電壓低于100V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出，電壓高于100V時(shí)，帶電粒子打在極板上，不能從兩板間射出．
     粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，速度最大，設(shè)最大速度為v₁，則有：

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 0

+q?

U1

2

；
             解得：v1=

2

×105m/s=1.414×10⁵m/s
（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OO'的夾角為θ，
     則速度大小v=

v0

cosθ

，
    粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

，粒子從磁場(chǎng)中飛出的位置與進(jìn)入磁場(chǎng)的位置之間的距離s=2Rcosθ=

2mv0

qB

    代入數(shù)據(jù)解得s=0.4m，s與θ無(wú)關(guān)，即射出電場(chǎng)的任何一個(gè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間距離恒為定值．
（3）粒子飛出電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)．粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的速度方向與OO'的最大夾角為α，
        則 cosα=

v0

v1

=

2

2

，α=45°．
     當(dāng)粒子從下板邊緣飛出電場(chǎng)再進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，tmax=

3T

4

=

3πm

2qB

=3π×10^-6s=9.42×10^-6s；
     當(dāng)粒子從上板邊緣飛出電場(chǎng)再進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，tmin=

T

4

=

πm

2qB

=π×10^-6s=3.14×10^-6s．
答：（1）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度為1.414×10⁵m/s．
（2）證明如上所述．粒子從磁場(chǎng)中飛出的位置與進(jìn)入磁場(chǎng)的位置之間的距離s=2Rcosθ=

2mv0

qB

．
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為9.42×10^-6s，最短時(shí)間為3.14×10^-6s．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解題一般程序是
  1、畫(huà)軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫(huà)出軌跡．
  2、找聯(lián)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系，時(shí)間與周期聯(lián)系．
  3、用規(guī)律：牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．