Question

8．如圖所示，傾角 θ=37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個輪半徑和質量不計的光滑定滑輪 D，質量均為m=1kg 的物體A和B用一勁度系數(shù)k=240N/m 的輕彈簧連接，物體 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板 P 擋住．用一不可伸長的輕繩使物體 A 跨過定滑輪與質量為 M 的小環(huán) C 連接，小環(huán) C 穿過豎直固定的光滑均勻細桿，當整個系統(tǒng)靜止時，環(huán) C 位 于 Q 處，繩與細桿的夾角 α=53°，且物體 B 對擋板 P 的壓力恰好為零．圖中 SD 水平且長度 為 d=0.2m，位置 R 與位置 Q 關于位置 S 對稱，輕彈簧和定滑輪右側的繩均與斜面平行．現(xiàn) 讓環(huán) C 從位置 R 由靜止釋放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²．
求：
（1）小環(huán) C 的質量 M；
（2）小環(huán) C 通過位置 S 時的動能 E_k及環(huán)從位置 R 運動到位置 S 的過程中輕繩對環(huán)做的功 W_T；
（3）小環(huán) C 運動到位置 Q 的速率 v．

Answer 1

分析 （1）該題中，共有ABC三個物體與彈簧組成一個系統(tǒng)，受力的物體比較多，可以先以AB組成的整體為研究對象，求出繩子的拉力，然后以C為研究對象進行受力分析，即可求出C的質量；
（2）由幾何關系求出繩子RD段的長度，再以B為研究對象，求出彈簧的伸長量，以及后來的壓縮量，最后根據(jù)機械能守恒定律求出C的速度、動能；由動能定理求出輕繩對環(huán)做的功W_T；
（3）由機械能守恒定律即可求出C的速度．

解答 解：（1）先以AB組成的整體為研究對象，AB系統(tǒng)受到重力．支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C為研究對象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖，則：

T•cos53°=Mg
代入數(shù)據(jù)得：M=0.72kg
（2）由題意，開始時B恰好對擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長狀態(tài)；產(chǎn)生B沿斜面方向的受力：
F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
彈簧的伸長量：△x₁=$\frac{mgsinθ}{k}$=0.025m
當小環(huán) C 通過位置 S 時A下降的距離為：${x}_{A}=\frac2ucgmsq{sinα}-d=0.05m$
此時彈簧的壓縮量為：△x₂=x_A-△x₁=0.025m
由速度分解可知此時A的速度為零，所以小環(huán)C從R運動到S的過程中，初末態(tài)的彈性勢能相等，對于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機械能守恒有：
Mgdcotα+mgx_Asinθ=E_k
代入數(shù)據(jù)解得：E_k=1.38J
環(huán)從位置 R 運動到位置 S 的過程中，由動能定理可知：W_T+Mgdcotα=E_k
代入數(shù)據(jù)解得：W_T=0.3J
（3）環(huán)從位置 R 運動到位置 Q 的過程中，對于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機械能守恒
 $Mg•（2dcotα）=\frac{1}{2}M{v}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     
對環(huán)在Q點的速度進行分解如下圖，則：v_A=vcosα

兩式聯(lián)立可得：v=2m/s
答：（1）小環(huán)C的質量是0.72kg；
（2）小環(huán)C通過位置S時的動能E_k是1.38J，環(huán)從位置R運動到位置S的過程中輕繩對環(huán)做的功是0.3J；
（3）小環(huán)C運動到位置Q的速率是2m/s

點評 本題考查動能定理以及功能關系的應用，解題的關鍵在于第二問，要注意在解答的過程中一定要先得出彈簧的彈性勢能沒有變化的結論，否則解答的過程不能算是完整的．