Question

12．如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為M的物體在光滑水平面上振動(dòng)，其振幅為A．若一塊質(zhì)量為m的粘土由靜止?fàn)顟B(tài)粘到振子上，隨后系統(tǒng)繼續(xù)進(jìn)行振動(dòng)，試求在下列兩種情況下系統(tǒng)繼續(xù)振動(dòng)的周期和振幅：
（1）當(dāng)振子通過平衡位置時(shí)與粘土相粘；
（2）當(dāng)振子在最大位移處時(shí)與粘土相粘．

Answer 1

分析 根據(jù)彈簧振子的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，m是振子的總質(zhì)量，求解周期．根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒求出粘土粘到振子后共同速度，再由機(jī)械能守恒定律求振幅．

解答 解：（1）當(dāng)振子通過平衡位置時(shí)與粘土相粘后，彈簧振子的振動(dòng)周期為：T=2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$．
設(shè)振子與粘土相粘前，通過平衡位置的速度為v₁，相粘后共同速度為v₂．振幅為A₁．相粘前，振子從平衡位置到最大位移處，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒有：
 $\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}k{A}^{2}$
取相粘前振子的速度方向?yàn)檎�，根�?jù)水平方向動(dòng)量守恒得：
mv₁=（M+m）v₂．
粘合體從平衡位置到最大位移處的過程，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$（M+m）v₂²=$\frac{1}{2}k{A}_{1}^{2}$
聯(lián)立解得：A₁=$\sqrt{\frac{m}{M+m}}$A
（2）當(dāng)振子在最大位移處時(shí)與粘土相粘后，彈簧振子的振動(dòng)周期也為：
T=2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$
在最大位移處振子的速度為零，系統(tǒng)的機(jī)械能即為彈簧的彈性勢(shì)能，所以粘合后系統(tǒng)的機(jī)械能沒有變化，振幅不變，仍為A．
答：（1）當(dāng)振子通過平衡位置時(shí)與粘土相粘后振子的周期為2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$；振幅為$\sqrt{\frac{m}{M+m}}$A．
（2）當(dāng)振子在最大位移處時(shí)與粘土相粘后振子的周期為2π$\sqrt{\frac{M+m}{k}}$，振幅為A．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要明確粘合過程，系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒，但總動(dòng)量不守恒．粘合后系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的．