Question

13．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定有兩個很靠近的共面同心圓軌道，外圓光滑，內(nèi)圓粗糙．一質(zhì)量為m的小球從軌道的最低點以初速度v₀向右運(yùn)動，球的直徑略小于兩圓間距，球運(yùn)動的軌道半徑為R，不計空氣阻力．設(shè)小球過最低點時重力勢能為零，已知重力加速度為g，下列說法正確的是（　�。�

• A． 若小球運(yùn)動到最高點時速度為0，則小球機(jī)械能守恒
• B． 若經(jīng)過足夠長時間，小球最終的機(jī)械能可能為mgR
• C． 若使小球始終做完整的圓周運(yùn)動，則v₀可以小于$\sqrt{5gR}$
• D． 若小球第一次運(yùn)動到最高點時速度大小為0，則v₀等于$\sqrt{4gR}$

Answer 1

分析 內(nèi)圓粗糙，小球與內(nèi)圓接觸時要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，機(jī)械能不守恒；外圓光滑，小球與外圓接觸時不受摩擦力作用，只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律分析答題．

解答 解：A、若小球運(yùn)動到最高點時速度為0，則小球在運(yùn)動過程中一定與內(nèi)圓接觸，受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，小球的機(jī)械能一定不守恒，故A錯誤；
B、若初速度v₀比較小，小球在運(yùn)動過程中一定與內(nèi)圓接觸，機(jī)械能不斷減少，經(jīng)過足夠長時間，小球最終可能在圓心下方做往復(fù)運(yùn)動，最高點與圓心等高，機(jī)械能為mgR，故B正確．
C、若使小球始終做完整的圓周運(yùn)動，小球應(yīng)沿外圓運(yùn)動，在運(yùn)動過程中不受摩擦力，機(jī)械能守恒，小球恰好運(yùn)動到最高點時速度設(shè)為v，則有 mg=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，小球在最低點時的最小速度v₀=$\sqrt{5gR}$，所以若使小球始終做完整的圓周運(yùn)動，則v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$，故C錯誤．
D、如果內(nèi)圓光滑，小球在運(yùn)動過程中不受摩擦力，小球在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，如果小球運(yùn)動到最高點時速度為0，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R，小球在最低點時的速度為 v₀=$\sqrt{4gR}$，由于內(nèi)圓粗糙，小球在運(yùn)動過程中要克服摩擦力做功，則小球在最低點時的速度v₀一定大于$\sqrt{4gR}$，故D錯誤．
故選：B

點評 本題的關(guān)鍵是理清運(yùn)動過程，抓住臨界狀態(tài)，明確最高點的臨界條件，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和向心力知識結(jié)合進(jìn)行研究．