Question

13．某行星自轉(zhuǎn)一周所需時間為T，在這行星上用彈簧測力計可測得某物體的重力，在該行星赤道上稱得物體的重力是兩極的k倍，若該行星能夠看作球體，求其平均密度（萬有引力恒量為G）．

Answer 1

分析 兩極處的萬有引力等于物體的重力，赤道處的重力等于萬有引力與物體繞行星自轉(zhuǎn)所需的向心力之差，結(jié)合密度的表達式整理可得．

解答 解：在兩極處物體受到的重力等于行星對它的萬有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=F，
在赤道上的物體隨星球自轉(zhuǎn)做圓周運動，萬有引力與重力之差提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F′=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
由題意可知：F′=kF，
行星的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
解得：ρ=$\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$；
答：行星的平均密度為$\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道赤道上的物體隨行星做圓周運動的向心力來源，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．