Question

4．飛行時(shí)間質(zhì)譜儀可以根據(jù)帶電粒子的飛行時(shí)間對(duì)氣體分子進(jìn)行分析．如圖所示，在真空狀態(tài)下，自脈沖閥P噴出微量氣體，經(jīng)激光照射產(chǎn)生不同正離子，自a板小孔進(jìn)入a、b間的加速電場(chǎng)，從b板小孔射出，沿中線方向進(jìn)入M、N板間的方形區(qū)域，然后到達(dá)緊靠在其右側(cè)的探測(cè)器．已知極板a、b間的電壓為U₀，間距為d，極板M、N的長(zhǎng)度和間距均為L(zhǎng)．不計(jì)離子重力及經(jīng)過(guò)a板時(shí)的初速度．
（1）若M、N板間無(wú)電場(chǎng)和磁場(chǎng)，請(qǐng)推導(dǎo)出離子從a板到探測(cè)器的飛行時(shí)間t與比荷k（k=$\frac{q}{m}$，q和m分別為離子的電荷量和質(zhì)量）的關(guān)系式；
（2）若在M、N間只加上偏轉(zhuǎn)電壓U₁，請(qǐng)論證說(shuō)明不同正離子的軌跡是否重合；
（3）若在M、N間只加上垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．已知進(jìn)入a、b間的正離子有一價(jià)和二價(jià)的兩種，質(zhì)量均為m，元電荷為e．要使所有正離子均能通過(guò)方形區(qū)域從右側(cè)飛出，求所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B_m．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求得粒子的速度；再由運(yùn)動(dòng)的合成和分解可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）帶電離子在平行板M、N之間做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和分解可明確軌跡的表達(dá)式，則可明確軌跡是否重合；
（3）當(dāng)MN間的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B時(shí)，離子做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)和幾何關(guān)系可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值．

解答 解：（1）帶電離子在平行板a、b之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理得：qU₀=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，即：v=$\sqrt{2k{U}_{0}}$  …①
帶電離子在平行板a、b之間的加速度為：
a₁=$\frac{q{U}_{0}}{dm}$，即：a₁=$\frac{k{U}_{0}}ndlfpnt$．
所以帶電離子在平行板a、b之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$$\frac{d\sqrt{2k{U}_{0}}}{k{U}_{0}}$；
帶電離子在平行板M、N之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t₂=$\frac{L}{v}$=$\frac{L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$；
所以帶電離子從a板到探測(cè)器的飛行時(shí)間為：
t=t₁+t₂=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$．
（2）帶電離子在平行板M、N之間水平位移為x時(shí)，在豎直方向位移為y，
水平方向滿足：x=vt，
豎直方向滿足：y=$\frac{1}{2}$a₂t²，
加速度a₂=$\frac{k{U}_{1}}{L}$，
聯(lián)立解得：y=$\frac{{U}_{1}{x}^{2}}{4L{U}_{0}}$   …②
②式是正離子的軌跡方程，與正離子的質(zhì)量和電荷量均無(wú)關(guān)系，所以不同正離子的軌跡是重合的．
（3）當(dāng)M、N間磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B時(shí)，離子做圓周運(yùn)動(dòng)，滿足：Bvq=$\frac{m{v}^{2}}{R}$…③
聯(lián)立①③兩式解得：帶電離子的軌道半徑為：R=$\sqrt{\frac{2{U}_{0}m}{{B}^{2}q}}$…④
上式表明：在離子質(zhì)量一定的情況下，離子的電荷量越大，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小，也就越不容易穿過(guò)方形區(qū)從右側(cè)飛出．
所以，要使所有的一價(jià)和二價(jià)正離子均能通過(guò)方形區(qū)從右側(cè)飛出，只要二價(jià)正離子能從方形區(qū)飛出即可．
當(dāng)二價(jià)正離子剛好能從方形區(qū)域飛出時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為滿足題目條件的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值
設(shè)當(dāng)離子剛好通過(guò)方形區(qū)從右側(cè)飛出時(shí)的軌道半徑為R，
由幾何關(guān)系得，R²=L²+（R-$\frac{L}{2}$）²，
解得：R=$\frac{5L}{4}$…⑤
將二價(jià)正離子的電量2e代入⑦式得：R=$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{{B}^{2}e}}$…⑥
聯(lián)立⑧⑨可解得：B=$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$，此值即為所求的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B_m．
答：（1）離子從a板到探測(cè)器的飛行時(shí)間t=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$；
（2）若在M、N間只加上偏轉(zhuǎn)電壓U₁，正離子的軌跡方程，與正離子的質(zhì)量和電荷量均無(wú)關(guān)系，所以不同正離子的軌跡是重合的；
（3）要使所有正離子均能通過(guò)方形區(qū)域從右側(cè)飛出，所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值是$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電荷的加速與電荷的偏轉(zhuǎn)，關(guān)鍵將電荷的偏轉(zhuǎn)進(jìn)行分解，知道在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，關(guān)鍵要把動(dòng)能定理、類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其相關(guān)知識(shí)結(jié)合解答．