Question

(20分) 兩顆人造衛(wèi)星繞地球沿同一橢圓軌道同向運(yùn)動，它們通過軌道上同一點(diǎn)的時間相差半個周期．已知軌道近地點(diǎn)離地心的距離是地球半徑R的2倍，衛(wèi)星通過近地點(diǎn)時的速度，式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量．衛(wèi)星上裝有同樣的角度測量儀，可測出衛(wèi)星與任意兩點(diǎn)的兩條連線之間的夾角．試設(shè)計一種測量方案，利用這兩個測量儀測定太空中某星體與地心在某時刻的距離．（最后結(jié)果要求用測得量和地球半徑R表示）

Answer 1

如圖，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的軌道為一橢圓，地心位于軌道橢圓的一個焦點(diǎn)O處，設(shè)待測量星體位于C處．根據(jù)題意，當(dāng)一個衛(wèi)星運(yùn)動到軌道的近地點(diǎn)A時，另一個衛(wèi)星恰好到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)B處，只要位于A點(diǎn)的衛(wèi)星用角度測量儀測出AO和AC的夾角α₁，位于B點(diǎn)的衛(wèi)星用角度測量儀測出BO和BC的夾角α₂，就可以計算出此時星體C與地心的距離OC．

因衛(wèi)星橢圓軌道長軸的長度

                (1)

式中r_近、與r_遠(yuǎn)分別表示軌道近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離．由角動量守恒

              (2)

式中m為衛(wèi)星的質(zhì)量．由機(jī)械能守恒

     (3)

已知

，      

得                (4)

所以                (5)

在△ABC中用正弦定理

               (6)

所以                (7)

地心與星體之間的距離為，在△BOC中用余弦定理

               (8)

由式(4)、(5)、(7)得

               

               (9)

評分標(biāo)準(zhǔn)：

本題20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．