Question

如圖所示，電荷量為e、質(zhì)量為m的質(zhì)子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第二象限內(nèi)的各個(gè)不同方向，射入時(shí)的速度大小均為v₀．現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，若這些質(zhì)子穿過磁場后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏PQ上，不計(jì)質(zhì)子重力．求：
（1）質(zhì)子穿過y軸時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)O的最大距離；
（2）質(zhì)子打到熒光屏上范圍的長度；
（3）所加磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）從第二象限射入的質(zhì)子，速度的大小相同，速度的方向（與x軸的負(fù)方向）分布在0°到90°的范圍內(nèi)，沿x軸負(fù)方向射入的質(zhì)子的偏轉(zhuǎn)角最大，經(jīng)過y軸上的點(diǎn)距O點(diǎn)最遠(yuǎn)．經(jīng)分析可知，此距離為質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑的2倍．
（2）作出平行于x軸入射的質(zhì)子軌跡和垂直于x軸入射的質(zhì)子的軌跡，兩個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)半徑相同，通過幾何關(guān)系可知質(zhì)子打到熒光屏上的長度等于軌跡的半徑．
（3）結(jié)合平行于x軸射入的質(zhì)子和垂直于x軸方向射入的質(zhì)子的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系可得知磁場最小面積時(shí)的圖形，從而可得出最小面積．

解答：解：（1）設(shè)質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得：ev₀B=m

v 2 0

R

得：R=

mv0

eB

沿x軸負(fù)方向射入的質(zhì)子的偏轉(zhuǎn)角最大，穿過y軸時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離最大為：y_max=2R=

2mv0

eB

．
（2）如圖所示，初速度沿x軸負(fù)方向的質(zhì)子沿弧OA運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的P點(diǎn)；初速度沿y軸正方向的質(zhì)子沿弧OC運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的Q點(diǎn)；由幾何知識(shí)可得：
PQ=R=

mv0

eB

．
（3）取與x軸負(fù)方向成θ角的方向射入的質(zhì)子為研究對(duì)象，其射出磁場的點(diǎn)為E（x，y），因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：
  x=Rsinθ
  y=R+Rcosθ
即：x²+（y-R）²=R²
又因?yàn)橘|(zhì)子沿x軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為A點(diǎn)；沿y軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為C點(diǎn)，故所加最小面積的磁場的邊界是以（0，R）為圓心、R為半徑的圓的一部分，如圖中實(shí)線圓弧所圍區(qū)域，所以磁場范圍的最小面積為：S=

3

4

πR2+R²-

1

4

πR2=（

π

2

+1）(

mv0

eB

)2
答：
（1）質(zhì)子穿過y軸時(shí)離坐標(biāo)原點(diǎn)O的最大距離是

2mv0

eB

；
（2）質(zhì)子打到熒光屏上范圍的長度是

mv0

eB

；
（3）所加磁場區(qū)域的最小面積為（

π

2

+1）(

mv0

eB

)2．

點(diǎn)評(píng)：本題在審題時(shí)要關(guān)注以下兩點(diǎn)：
（1）從第一象限射入的質(zhì)子，速度的大小相同，速度的方向（與x軸的正方向）分布在0°到90°的范圍內(nèi)．
（2）質(zhì)子穿過磁場后都能垂直地射到MN光屏上，要利用好“垂直”這個(gè)條件．