Question

6．如圖所示，輕質彈簧的一端固定在地面上，另一端與質量為M=1.5Kg的薄木板A相連，質量為m=0.5Kg的小球B放在木板A上，彈簧的勁度系數(shù)為k=2000N/m．現(xiàn)有一豎直向下、大小F=20N的力作用在B上且系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，在B球正上方處由一四分之一內壁光滑豎直圓弧軌道，圓弧半徑R=0.4m，圓弧下端P點距離距離彈簧原長位置高度為h=0.6m．撤去外力F后，B豎直上升最終從P點切入原軌道，到達Q點的速度為v_Q=4m/s．求：
（1）球B在P點和Q點時分別對軌道的壓力
（2）AB分離時的速度v
（3）撤去F瞬間彈簧的彈性勢能E_p．

Answer 1

分析 （1）小球從P到Q做圓周運動，由動能定理可求出球B在P點的速度，在P點，由軌道的支持力提供向心力．由牛頓第二定律求出軌道對球的支持力．在Q點由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對球的支持力，再由牛頓第三定律求解；
（2）AB在彈簧原長處分離后，B上升過程中，只有重力做功，其機械能守恒，據(jù)此定律列式即可求得v；
（3）先根據(jù)胡克定律和平衡條件求出開始有F作用時彈簧被壓縮的長度．從撤去力F瞬間到AB分離過程，由機械能守恒求彈簧的彈性勢能E_p．

解答 解：（1）設球在Q點時軌道對球壓力為N．根據(jù)牛頓第二定律有：
N+mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$        
則得：N═m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$-mg=15N   
由牛頓第三定律知，球對軌道壓力為：N′=N=15N
球從P到Q的過程，由動能定理得：
-mgR=$\frac{1}{2}$mv_Q²-$\frac{1}{2}$mv_p²     
可得：v_p²=24（m/s）²     
在P點，由牛頓第二定律有，軌道對球的支持力為：N_P=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$=30N  
由牛頓第三定律得，球對軌道壓力為：N_P′=N_P=15N
（2）AB在彈簧原長處分離后，B上升機械能守恒，有：
$\frac{1}{2}$mv²=mg（R+h）+$\frac{1}{2}$mv_Q²           
解得：v=6m/s                         
（3）撤去F到彈簧恢復原長AB分離上升H，根據(jù)胡克定律和平衡條件得：
kH=F+（m+M）g                  
解得：H=0.02m                        
此過程機械能守恒，則得：
E_p=（m+M）gH+$\frac{1}{2}$（m+M）v²      
代入數(shù)據(jù)得到：E_p=36.4J        
答：（1）球B在Q點時對軌道的壓力是15N；
（2）AB分離時的速度v是6m/s；
（3）撤去F瞬間彈簧的彈性勢能E_p是36.4J．

點評 本題是較為復雜的力學綜合題，關鍵要分析物體的運動過程和狀態(tài)，選擇研究對象，把握每個過程和狀態(tài)的物理規(guī)律．