Question

18．2013年6月11日，我國(guó)已成功發(fā)射了神舟十號(hào)飛船，升空后和目標(biāo)飛行器天宮一號(hào)交會(huì)對(duì)接，3名航天員再次探訪天宮一號(hào)，并開(kāi)展相關(guān)空間科學(xué)試驗(yàn)．已知地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，設(shè)神舟十號(hào)飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T．求：
（1）地球的密度；
（2）神舟十號(hào)飛船離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面物體重力等于萬(wàn)有引力地球質(zhì)量，即可求密度
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力計(jì)算飛船離地面的高度

解答 解：（1）地球表面重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
地球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
地球密度$ρ=\frac{M}{V}$
$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
聯(lián)立解得$ρ=\frac{3g}{4πRG}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{（R+h）}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$h=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$
答：（1）地球的密度$\frac{3g}{4πRG}$；
（2）神舟十號(hào)飛船離地面的高度h為$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握萬(wàn)有引力提供向心力和星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力這兩個(gè)關(guān)系，同時(shí)要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．