Question

7．2016年3月1日，嫦娥一號(hào)衛(wèi)星系統(tǒng)總指揮兼總設(shè)計(jì)師葉培建院士表示，中國(guó)計(jì)劃2018年前后發(fā)射“嫦娥四號(hào)”月球探測(cè)器，在月球背面軟著陸，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”繞月飛行軌道近似為圓形，距月球表面高度為H，飛行周期為T(mén)，月球的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）月球的密度；
（2）月球的表面重力加速度．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出月球的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求月球的密度
（2）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力求出月球表面的重力加速度

解答 解：（1）飛船繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
（2）根據(jù)月球表面物體重力等于萬(wàn)有引力
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）月球的密度$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$；
（2）月球的表面重力加速度$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要知道飛船繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，并且要能夠根據(jù)題目的要求選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式，同時(shí)知道在月球表面物體重力等于萬(wàn)有引力．