Question

（2013?懷遠縣模擬）如圖所示，在光滑水平面上有一質量為M的長木板，長木板上有一質量為m的小物塊，它與長木板間的動摩擦因數為μ．開始時，長木板與小物塊均靠在與水平面垂直的固定擋板處，某時刻它們以共同的速度v₀向右運動，當長木板與右邊的固定豎直擋板碰撞后，其速度的大小不變、方向相反，以后每次的碰撞均如此．設左右擋板之間的距離足夠長，且M＞m．
（1）要想物塊不從長木板上落下，則長木板的長度L應滿足什么條件？
（2）若上述條件滿足，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，求整個系統在第5次碰撞前損失的所有機械能．

Answer 1

分析：（1）由于小物塊與長木板存在摩擦力，系統的機械能不斷減少，所以小物塊第一次與擋板碰撞后兩者相對速度最大，第1次小物塊若不能從長木板上掉下，往后每次相對滑動的距離會越來越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物塊恰好不從木板上掉下時，兩者速度相同，而且物塊恰好滑到木板的另一端，根據動量守恒定律求出第一次碰撞后兩者的共同速度，由能量守恒定律求出長木板的長度L最小值．
（2）根據動量守恒定律求出4次碰撞后物塊與木板的共同速度，尋找規(guī)律，再求解整個系統在第5次碰撞前損失的所有機械能．

解答：解：（1）設第1次碰撞后小物塊與長木板共同運動的速度為v₁，第n次碰撞后小物塊與長木板共同運動的速度為v_n．每次碰撞后，由于兩擋板的距離足夠長，物塊與長木板都能達到相對靜止，第1次若不能掉下，往后每次相對滑動的距離會越來越小，更不可能掉下．由動量守恒定律和能量守恒定律有：
   （M-m）v₀=（M+m）v₁
  μmgs=

1

2

（m+M）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²
解得：s=

2M v 2 0

μ(M+m)g

故L應滿足的條件是：L≥s=

2M v 2 0

μ(M+m)g

（2）第2次碰撞前有：
（M-m）v₀=（M+m）v₁   
第3次碰撞前有：（M-m）v₁=（M+m）v₂
第n次碰撞前有：（M-m）v_n-2=（M+m）v_n-1
所以v_n-1=（

M-m

M+m

）^n-1v₀
則第5次碰撞前有：v₄=（

M-m

M+m

）⁴v₀
故第5次碰撞前損失的總機械能為：△E=

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₄²
代入數據解得：△E=149.98J．
答：
（1）要想物塊不從長木板上落下，長木板的長度L應滿足的條件是：L≥

2M v 2 0

μ(M+m)g

．
（2）整個系統在第5次碰撞前損失的所有機械能是149.98J．

點評：本題采用數學歸納法研究多次碰撞過程遵守的規(guī)律，考查分析和處理復雜運動過程的能力．