Question

（2013?懷遠(yuǎn)縣模擬）如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為M的長(zhǎng)木板，長(zhǎng)木板上有一質(zhì)量為m的小物塊，它與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．開始時(shí)，長(zhǎng)木板與小物塊均靠在與水平面垂直的固定擋板處，某時(shí)刻它們以共同的速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)長(zhǎng)木板與右邊的固定豎直擋板碰撞后，其速度的大小不變、方向相反，以后每次的碰撞均如此．設(shè)左右擋板之間的距離足夠長(zhǎng)，且M＞m．
（1）要想物塊不從長(zhǎng)木板上落下，則長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L應(yīng)滿足什么條件？
（2）若上述條件滿足，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，求整個(gè)系統(tǒng)在第5次碰撞前損失的所有機(jī)械能．

Answer 1

分析：（1）由于小物塊與長(zhǎng)木板存在摩擦力，系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少，所以小物塊第一次與擋板碰撞后兩者相對(duì)速度最大，第1次小物塊若不能從長(zhǎng)木板上掉下，往后每次相對(duì)滑動(dòng)的距離會(huì)越來(lái)越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物塊恰好不從木板上掉下時(shí)，兩者速度相同，而且物塊恰好滑到木板的另一端，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出第一次碰撞后兩者的共同速度，由能量守恒定律求出長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L最小值．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出4次碰撞后物塊與木板的共同速度，尋找規(guī)律，再求解整個(gè)系統(tǒng)在第5次碰撞前損失的所有機(jī)械能．

解答：解：（1）設(shè)第1次碰撞后小物塊與長(zhǎng)木板共同運(yùn)動(dòng)的速度為v₁，第n次碰撞后小物塊與長(zhǎng)木板共同運(yùn)動(dòng)的速度為v_n．每次碰撞后，由于兩擋板的距離足夠長(zhǎng)，物塊與長(zhǎng)木板都能達(dá)到相對(duì)靜止，第1次若不能掉下，往后每次相對(duì)滑動(dòng)的距離會(huì)越來(lái)越小，更不可能掉下．由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有：
   （M-m）v₀=（M+m）v₁
  μmgs=

1

2

（m+M）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²
解得：s=

2M v 2 0

μ(M+m)g

故L應(yīng)滿足的條件是：L≥s=

2M v 2 0

μ(M+m)g

（2）第2次碰撞前有：
（M-m）v₀=（M+m）v₁   
第3次碰撞前有：（M-m）v₁=（M+m）v₂
第n次碰撞前有：（M-m）v_n-2=（M+m）v_n-1
所以v_n-1=（

M-m

M+m

）^n-1v₀
則第5次碰撞前有：v₄=（

M-m

M+m

）⁴v₀
故第5次碰撞前損失的總機(jī)械能為：△E=

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₄²
代入數(shù)據(jù)解得：△E=149.98J．
答：
（1）要想物塊不從長(zhǎng)木板上落下，長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L應(yīng)滿足的條件是：L≥

2M v 2 0

μ(M+m)g

．
（2）整個(gè)系統(tǒng)在第5次碰撞前損失的所有機(jī)械能是149.98J．

點(diǎn)評(píng)：本題采用數(shù)學(xué)歸納法研究多次碰撞過(guò)程遵守的規(guī)律，考查分析和處理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)過(guò)程的能力．