Question

如圖所示，直線PO與x軸成45°角，x軸上方又水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，下方有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，已知電場(chǎng)強(qiáng)度E₁=E₂=l0N/C，x軸下方還存在著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=l0T．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1.0×10^-5kg的帶電粒子，帶電荷量q=-1.0×10^-5C．粒子由P點(diǎn)無初速釋放，PO=d=

10

2

m （重力加速度g=10m/s²）．求：
（1）粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v
（2）粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t和位移L．

Answer 1

分析：（1）粒子受重力和電場(chǎng)力作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v；
（2）在x軸下方的復(fù)合場(chǎng)中，因?yàn)榱Ｗ铀�受的重力和電�?chǎng)力平衡，所以粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期及運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角，求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）粒子在兩個(gè)電場(chǎng)中所受的電場(chǎng)力大小相同，為：
  F=qE₁=qE₂=1.0×10^-4N
粒子所受的重力為：
 G=mg=1.0×10^-4N
可見在兩個(gè)電場(chǎng)中粒子所受電場(chǎng)力大小均等于重力大�。�在x軸上方的電場(chǎng)中，粒子沿AO做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)
合外力大小為：F合=

G2+F2

=

2

×10-4N；
合外力方向：tanθ=

G

F

=1，θ=45°，即合外力與場(chǎng)強(qiáng)方向的夾角為45°，粒子將從原點(diǎn)O進(jìn)入x軸下方的復(fù)合場(chǎng)中．加速度為：
   a=

F合

m

=10

2

m/s²，
粒子剛進(jìn)入x軸下方復(fù)合場(chǎng)時(shí)的速度為：v=

2ad

=2m/s；
（2）在x軸下方的復(fù)合場(chǎng)中，因?yàn)榱Ｗ铀�受的重力和電�?chǎng)力平衡，所以粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓周半徑為R，其周期為：
T=

2πR

v

而由牛頓第二定律得：qvB=

mv2

R

；
聯(lián)立解得：T=

2πm

qB

=0.628 s
由運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)四分之三周期，所用時(shí)間為：
t=

3T

4

=0.47 s，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
R=

mυ

qB

=0.2 m；
粒子離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸成45°角，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的位移為：
L=

2

R=0.2

2

m=0.283 m；
答：（1）粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v=2m/s
（2）粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=0.47s，位移L=0.283m．

點(diǎn)評(píng)：本題小球在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況，更要注意分析粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，破解其中的幾何關(guān)系．