Question

18．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，兩個(gè)$\frac{1}{4}$圓弧與直軌道組合成光滑絕緣軌道，在高度h=2R以下存在E=$\frac{mg}{q}$、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其它幾何尺寸如圖所示，一帶電量為q、質(zhì)量為m的帶正電的小球從A處以初速度v₀向右運(yùn)動(dòng)．
（1）若小球始終沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)而不脫離，則v₀的大小應(yīng)滿足什么條件？
（2）在v₀取（1）中的臨界值時(shí)，求軌道對(duì)小球的最大彈力；
（3）若小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力等于mg，試求小球從B點(diǎn)落回水平軌道過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功．

Answer 1

分析 小球整個(gè)運(yùn)動(dòng)只能束縛在軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)而不脫離，末速度可以為零，根據(jù)功能關(guān)系列方程 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+qE2R-mg3R≤0$化簡(jiǎn)即可．
將重力和電場(chǎng)力合成后當(dāng)作一種全新的場(chǎng)力，找到等效場(chǎng)的最低點(diǎn)，最低處小球?qū)�軌道的彈力最大，根�?jù)動(dòng)能定理$qE•（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R-mg•（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）R=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$化簡(jiǎn)計(jì)算出等效場(chǎng)的最低點(diǎn)處的速度，再根據(jù)合力提供向心力，計(jì)算壓力．
根據(jù)合力提供向心力解出小球通過(guò)B點(diǎn)的速度，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后，小球在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，小球從B點(diǎn)落到電場(chǎng)上方水平方向上向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球進(jìn)入電場(chǎng)中，在水平方向上，受到水平向右電場(chǎng)力，水平向左做勻減速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)豎直方向的運(yùn)動(dòng)計(jì)算時(shí)間，在水平方向上分段計(jì)算位移．根據(jù)qEx可求電場(chǎng)力做功情況

解答 解：（1）若剛好不脫離軌道，則：qE•2R-mg•4R=$\frac{1}{2}m（\sqrt{gR}）^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$，所以應(yīng)有：${v}_{0}≤\sqrt{2gR}$
（2）重力與電場(chǎng)力的合力F=$\sqrt{2}mg$，方向與水平方向成45⁰角斜向下
所以在下邊1/4圓弧中點(diǎn)（設(shè)為C）處彈力最大，則：$qE•（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R-mg•（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）R=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
N-F=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$ （或N-qEcos45°-mgsin45°=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$  ）
解得：$N=（2+3\sqrt{2}）mg$
（3）在最高點(diǎn)B，mg+${N}_{B}=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
 解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
從B進(jìn)入電場(chǎng)的時(shí)間：${t}_{1}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$
從B到達(dá)水平軌道的時(shí)間：${t}_{2}=\sqrt{\frac{8R}{g}}$
所以，在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：$△t={t}_{2}-{t}_{1}=2（\sqrt{2}-1）\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平方向：${a}_{x}=\frac{qE}{m}=g$
$△x={v}_{B}•△t-\frac{1}{2}{a}_{x}（△t）^{2}=2（\sqrt{2}-1）R$，方向向左；
B點(diǎn)到落回水平軌道過(guò)程電場(chǎng)力做功：$W=-qE•△x=-2（\sqrt{2}-1）mgR$
答：（1）若小球整個(gè)運(yùn)動(dòng)只能束縛在軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)而不脫離，則小球v₀應(yīng)滿足${v}_{0}≤\sqrt{2gR}$；
（2）v₀為最大值時(shí)，則小球?qū)�軌道的最大彈力�?（2+3\sqrt{2}）mg$
（3）小球從B點(diǎn)落回水平軌道過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功為$2（\sqrt{2}-1）mgR$．

點(diǎn)評(píng) 本題要能將重力和電場(chǎng)力合成后當(dāng)作一種全新的場(chǎng)力，找到等效場(chǎng)的最低點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律靈活列式求解．