Question

7．如圖所示，AB是一段光滑的半徑為R=1.6m的$\frac{1}{4}$圓弧，P為圓弧上的一點(diǎn)，其中∠POB=60°，CD是水平的長度為L=10.0m的傳送帶（B與C平滑相切），EF是一與傳送帶相平的光滑平臺(tái)（D與E平滑相切），PG是一段與平臺(tái)連接的傾角為37°的斜面，質(zhì)量為5.0kg的小物塊M靜止在平臺(tái)EF上，如果傳送帶保持不動(dòng)，質(zhì)量為1kg的物塊m從弧面上P點(diǎn)由靜止下滑，結(jié)果它恰好能滑到平臺(tái)上的E點(diǎn)，現(xiàn)控制傳送帶以速度v=4m/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，并讓物塊m從弧面上A點(diǎn)由靜止下滑，結(jié)果m能滑到平臺(tái)EF上與靜止的M相碰，碰后M向右滑從F點(diǎn)離開平臺(tái)，再過t=0.15s落到斜面FG上的某Q點(diǎn)（Q點(diǎn)沒有畫出），問：
（1）m與M碰撞過程中損失的機(jī)械能？
（2）碰后的m還能運(yùn)動(dòng)到圓弧面上的P點(diǎn)位置嗎？（試通過計(jì)算說明）
（3）m最初從A點(diǎn)下滑到最后停在某處或落到斜面上的全過程中，m與傳送帶接觸的時(shí)間有多長？

Answer 1

分析 （1）M離開F點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直位移與水平位移之比等于tan37°，求出碰后M的速度．對于傳送帶不動(dòng)時(shí)的情形，由動(dòng)能定理列式求得動(dòng)摩擦因數(shù)．再對傳送帶以速度v=4m/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)情形，由動(dòng)能定理列式求出碰撞前m的速度，根據(jù)碰撞過程動(dòng)量守恒列式，求出碰后m的速度，即可求解碰撞中機(jī)械能的損失．
（2）分析碰后m的運(yùn)動(dòng)情況：先向左勻加速運(yùn)動(dòng)，速度增至v時(shí)向左勻速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間和到達(dá)C的速度，再由機(jī)械能守恒求出m在圓弧軌道上升的高度，從而判斷能否到達(dá)P點(diǎn)．
（3）m再次從P點(diǎn)滑下后在傳送帶向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，由位移時(shí)間公式求出時(shí)間．m從P點(diǎn)下滑后最后停在E點(diǎn)，從而求得總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)m與M碰撞前m的速度為v₀，m與M碰撞后兩者的速度分別為v₁和v₂．
M離開F點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有•
  y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₂t
由數(shù)學(xué)知識(shí)得 tan37°=$\frac{y}{x}$
聯(lián)立解得：v₂=$\frac{gt}{2tan37°}$=$\frac{10×0.15}{2×0.75}$=1m/s．
傳送帶不動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理得：
  mgR（1-cos60°）-μmgL=0，則得 μ=0.08
控制傳送帶以速度v=4m/s逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理得：
  mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×1.6}$=4m/s
m與M碰撞過程，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
  mv₀=mv₁+Mv₂．
可得 v₁=v₀-$\frac{M}{m}$v₂=4-$\frac{5}{1}$×1=-1m/s
碰撞前總動(dòng)能 E_k1=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{4}^{2}$J=8J
碰撞前總動(dòng)能 E_k2=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{1}^{2}$+$\frac{1}{2}×5×{1}^{2}$=3J
則知m與M碰撞過程中損失的機(jī)械能△E=E_k1-E_k2=5J
（2）m與M碰撞后m向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速至速度與傳送帶相等的時(shí)間為t，通過的位移為x，則
  t=$\frac{v-|{v}_{1}|}{a}$=$\frac{v-|{v}_{1}|}{μg}$=$\frac{4-1}{0.8}$s=3.75s
  x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=5.625m＜L
此后m與傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C的速度為v=4m/s
設(shè)m在圓弧上上滑的高度為h，則有  mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得 h=0.8m
因h=R（1-cos60°），則m還能運(yùn)動(dòng)到圓弧面上的P點(diǎn)位置．
（3）由上題知，m速度與傳送帶相同后勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t′=$\frac{L-x}{v}$=$\frac{10-5.625}{4}$≈1.1s．
根據(jù)題意可知m從P點(diǎn)下滑后最后停在E點(diǎn)，設(shè)從C到E的時(shí)間為t″．
則 L=vt″-$\frac{1}{2}μgt{″}^{2}$
代入得：10=4t″-$\frac{1}{2}×0.8×t{″}^{2}$
解得 t″=5s
故m與傳送帶接觸的總時(shí)間 t_總=t+t′+t″=3.75+1.1+5=9.85s
答：
（1）m與M碰撞過程中損失的機(jī)械能為5J．
（2）碰后的m還能運(yùn)動(dòng)到圓弧面上的P點(diǎn)位置．
（3）m最初從A點(diǎn)下滑到最后停在某處或落到斜面上的全過程中，m與傳送帶接觸的時(shí)間是9.85s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)過程，把握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對于碰撞，要掌握其基本規(guī)律是動(dòng)量守恒．m在斜面上平拋，豎直位移與水平位移之比等于tan37°．