Question

【題目】如圖,傾斜軌道AB和光滑軌道BC固定在同一豎直平面內(nèi),兩者間通過(guò)一小段長(zhǎng)度不計(jì)的光滑弧形軌道相連,已知AB長(zhǎng)L=7.80m,傾角θ=37°,BC弧的半徑R=0.8m,O為圓心,∠BOC=143°,兩個(gè)體積相同的小球P與Q、P球的質(zhì)量mp=0.4kg;帶正電的Q球靜止于A點(diǎn),質(zhì)量mQ未知。其電荷量為q,整個(gè)裝置處于水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,場(chǎng)強(qiáng)天小E=3mQg/4q。不帶電的小球P從某一位置以v0=8m/s的初速度水平拋出,運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度恰好沿斜面向下與小球Q發(fā)生彈性正碰,且碰撞過(guò)程中無(wú)電荷轉(zhuǎn)移。碰后Q球第一次通過(guò)過(guò)C點(diǎn)后落到斜面上的D點(diǎn)(未畫(huà)出),BD=2.88m。若Q、P與軌道AB的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1=0.2，μ2=0.8。小球Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電荷量保持不變。sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2)。求：

（1）小球P的拋出點(diǎn)距A點(diǎn)的高度；

（2）小球Q運(yùn)動(dòng)到弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力是其重力的多少倍；
（3）小球Q的質(zhì)量mQ。

Answer 1

【答案】（1）1.8m（2） （3）0.4kg

【解析】

小球P拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度沿斜面向下，由速度分解法求出小球P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)豎直分速度，即可由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球P的拋出點(diǎn)距A點(diǎn)的高度；兩球發(fā)生彈性正碰，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合求出碰后兩球的速度。碰后小球Q獲得速度，將電場(chǎng)力和重力的合力看成等效重力，由動(dòng)能定理求出小球Q到圓弧軌道最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求Q對(duì)軌道的壓力。

(1) 設(shè)小球P剛運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度為，豎直分速度為，

則有：

所以小球P的拋出點(diǎn)距離A點(diǎn)的高度；

(2) 設(shè)小球Q運(yùn)動(dòng)到C 點(diǎn)時(shí)的速度為，過(guò)了C點(diǎn)之后小球Q受到電場(chǎng)力和重力的合力為

，且方向剛好沿著OC，由題中幾何關(guān)系可知OC垂直于AB，所以，小球Q過(guò)了C點(diǎn)之后將做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的加速度

沿著OC的方向上：

沿著垂直于OC的方向上：

可以解出

小球Q從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程，利用動(dòng)能定理

其國(guó)

解得：

對(duì)小球Q在B點(diǎn)，由牛頓第二定律

根據(jù)牛頓第三定律，小球Q運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力跟軌道對(duì)它的支持力大小相等，是其重力的倍；

(3) 假設(shè)小球Q在A點(diǎn)被撞后的瞬間，速度為，對(duì)于小球Q從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理

解得：

假設(shè)碰后P球的速度為 ，碰前P球的速度為

由于是彈性碰撞

帶入數(shù)據(jù)解得：，。